[論文レビュー] Convex Chance-Constrained Programs with Wasserstein Ambiguity

Haoming Shen, Ruiwei Jiang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Wassersteinのあいまいさを有する確率制約型計画問題が凸可能領域を有する十分条件を確立し、これによりコン性最適化による効率的解法が可能になる。左辺の不確実性に対しては、Wasserstein中心がガウス分布である場合、右辺の不確実性に対しては中心が対数凹型またはα-凹型（α ≥ -1）である場合に凸性を示し、そのような問題に対して収束するブロック座標上昇アルゴリズムを提案する。

ABSTRACT

Chance constraints yield non-convex feasible regions in general. In particular, when the uncertain parameters are modeled by a Wasserstein ball, arXiv:1806.07418 and arXiv:1809.00210 showed that the distributionally robust (pessimistic) chance constraint admits a mixed-integer conic representation. This paper identifies sufficient conditions that lead to convex feasible regions of chance constraints with Wasserstein ambiguity. First, when uncertainty arises from the right-hand side of a pessimistic joint chance constraint, we show that the ensuing feasible region is convex if the Wasserstein ball is centered around a log-concave distribution (or, more generally, an $α$-concave distribution with $α\geq -1$). In addition, we propose a block coordinate ascent algorithm and prove its convergence to global optimum, as well as the rate of convergence. Second, when uncertainty arises from the left-hand side of a pessimistic two-sided chance constraint, we show the convexity if the Wasserstein ball is centered around an elliptical and star-unimodal distribution. In addition, we propose a family of second-order conic inner approximations, and we bound their approximation error and prove their asymptotic exactness. Furthermore, we extend the convexity results to optimistic chance constraints.

研究の動機と目的

• 本稿は、通常の非凸性を示すこのような問題において、Wassersteinのあいまいさを有する確率制約型計画問題が凸可能領域を有する十分条件を同定することを目的とする。
• 本稿は、Wassersteinのあいまいさの下で、懐疑的および楽観的確率制約の両方に対して凸性結果を拡張することを目的とする。
• 本稿は、得られた凸最適化問題を解くための収束するブロック座標上昇アルゴリズムを開発することを目的とする。
• 本稿は、あいまいさ集合が特定の分布（ガウス分布、対数凹型、α-凹型）を中心とする場合の可能領域のコン型表現を提供することを目的とする。

提案手法

• 不確実性が左辺に生じる場合の懐疑的個別確率制約に対して、凸かつコン型の表現を導出する。このとき、Wasserstein中心がガウス分布であると仮定する。
• 右辺の不確実性を伴う懐疑的集合確率制約の可能領域の凸性を証明する。このとき、Wasserstein中心が対数凹型またはα-凹型（α ≥ -1）であると仮定する。
• 楽観的確率制約型計画問題を解くためのブロック座標上昇アルゴリズムを提案し、最適解へのグローバル収束を証明する。
• 双対性およびWasserstein距離の性質を用いて、分布ロバストな確率制約を扱いやすい形に再定式化する。
• Moreau-Yosida正則化および方向微分解析を用いて、価値関数の凸性および連続性を確立する。
• CVaR再定式化を用いて、楽観的確率制約を、可能領域への距離のCVaRを含む単一のロバスト制約に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wassersteinのあいまいさを有する確率制約型計画問題が凸可能領域を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 不確実性が個別確率制約の左辺に影響を与える場合、特にWasserstein中心がガウス分布である場合に、凸性が保たれるか？
• RQ3 不確実性が右辺にある集合確率制約に対して、Wasserstein中心が対数凹型またはα-凹型（α ≥ -1）である場合に凸性が成立するか？
• RQ4 Wassersteinのあいまいさの下で、楽観的確率制約型計画問題を解く収束するアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 これらの凸確率制約型計画問題の可能領域のコン型表現は何か？

主な発見

• 左辺の不確実性を伴う個別確率制約に対しては、Wassersteinのあいまいさ集合がガウス分布を中心とする場合、可能領域は凸である。
• 右辺の不確実性を伴う集合確率制約に対しては、Wasserstein中心が対数凹型分布、またはより一般にα ≥ -1のα-凹型分布である場合、可能領域は凸である。
• 本稿は、懐疑的ケースの混合整数コン型表現を提供し、Xie (2019) や Chen et al. (2018) の先行研究を拡張する。
• 楽観的確率制約に対しては、ブロック座標上昇アルゴリズムを提案し、最適解へのグローバル収束を証明する。
• 楽観的確率制約は、可能領域への距離のCVaRを含む単一のロバスト制約に再定式化され、取り扱いやすい解法が可能になる。
• 価値関数の方向微分が連続的かつ正homogeneousであることが示され、凸性解析を支援する。