[論文レビュー] Convex cocompact actions in real projective geometry

Jeffrey Danciger, François Guéritaud+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、実射影空間上でのPGL(ℝⁿ)の離散部分群の作用について、凸的コンパクト作用を導入し特徴づける。この作用がP₁-Anosov表現と等価であり、Crampon–Marquisが定義したより強い凸的コンパクト性条件とも等価であることを示す。この研究では、これらの群が必ずしも語呂的双曲的でなくても、古典的なランク1設定における凸的コンパクト部分群に類似した主要な幾何学的・力学的性質を有することを確立し、高ランク射影幾何におけるAnosov表現に関連する自然な凸的幾何構造を提供する。

ABSTRACT

We study a notion of convex cocompactness for discrete subgroups of the projective general linear group acting (not necessarily irreducibly) on real projective space, and give various characterizations. A convex cocompact group in this sense need not be word hyperbolic, but we show that it still has some of the good properties of classical convex cocompact subgroups in rank-one Lie groups. Extending our earlier work arXiv:1701.09136 from the context of projective orthogonal groups, we show that for word hyperbolic groups preserving a properly convex open set in projective space, the above general notion of convex cocompactness is equivalent to a stronger convex cocompactness condition studied by Crampon-Marquis, and also to the condition that the natural inclusion be a projective Anosov representation. We investigate examples.

研究の動機と目的

• PGL(ℝⁿ)の離散部分群が実射影空間上に作用する場合の凸的コンパクト作用を定義し特徴づける。これは、ランク1のリー群を超える古典的概念の拡張を目的とする。
• 語呂的双曲的群が適切に凸な開集合を保存する場合、新しい凸的コンパクト性条件とCrampon–Marquisが定義したより強い凸的コンパクト性条件との同値性を確立する。
• このような群に対して、新しい凸的コンパクト性条件がP₁-Anosov表現条件と同値であることを示す。
• 極限におけるヒルベルト球や射影空間内の幾何的モデルを含む例の構成と分析を行い、主要な推定値の鋭さを示す。
• 高ランク射影幾何におけるAnosov表現と凸的基本領域を結ぶ幾何的枠組みを提供する。

提案手法

• 群Γの近位元の吸引固定点の閉包として、ℙ(ℝⁿ)に含まれる近位極限集合ΛΓ ⊂ ℙ(ℝⁿ)を導入する。
• 双対近位極限集合ΛΓ* ⊂ ℙ((ℝⁿ)*)を、接超平面の集合として定義し、ℙ(ℝⁿ) igcup_{H∈ΛΓ*} Hの補集合の連結成分が凸な開集合であることを考察する。
• Γが既約に作用する場合、これらの成分が適切に凸であることを示し、極限集合の凸包へのcocompact作用を用いて凸的コンパクト性を定義する。
• 特にP₁-Anosov表現の理論を応用し、語呂的双曲的条件下でAnosov条件と凸的コンパクト性の同値性を示す。
• 崩壊する凸領域におけるヒルベルト球の幾何的極限を用いて、軌道のハウスドルフ極限に関する鋭い推定値を導出し、特定の境界の最適性を証明する。
• 特に、正方形の底面を持つ錐体モデルのような退化極限においても、アフィンチャートでの明示的座標計算を用いて、球の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PGL(ℝⁿ)の離散部分群がℙ(ℝⁿ)上に作用する場合、どのような条件下で新しい幾何的意味における凸的コンパクト作用をとるか？
• RQ2 この新しい凸的コンパクト性条件は、古典的なP₁-Anosov表現条件とどのように関係するか？
• RQ3 適切に凸な開集合上での作用を用いて、凸的コンパクト性を幾何的に特徴づけられるか？
• RQ4 崩壊する凸幾何におけるヒルベルト球の群作用下での鋭い漸近的挙動は何か？
• RQ5 高ランク射影幾何におけるAnosov表現に関連する自然な凸的幾何的構造は存在するか？

主な発見

• 語呂的双曲的群がℙ(ℝⁿ)内に適切に凸な開集合を保存する場合、新しい凸的コンパクト性条件はP₁-Anosov表現条件と同値である。
• このような群に対して、新しい凸的コンパクト性条件はCrampon–Marquisのより強い凸的コンパクト性条件とも同値である。
• 球の半径Rの軌道のハウスドルフ極限が、極限点の周囲で半径R' > fD(R)の球を含まない例を明示的に構成し、関数fD(R)が最適であることを示した。
• 関数fD(R) = (1/2) log(1 + (e²ᴿ − 1)/e²ᴰ)は、極限におけるヒルベルト球の包含に関する鋭い閾値として導出され、凸領域の幾何的極限から得られる。
• p → ∞およびε → 0の極限において、領域Ωε,pは正方形の底面を持つ錐体Ω∞に収束し、γₚᵐ·B(x₀,R)のハウスドルフ極限は軸上での長さ2sの線分に限りなく近づく。ここでs = (1 + e²ᴰ⁻ᴿ/sinh(R))⁻¹である。
• 本稿では、凸的コンパクト性が、群がcocompactly作用する凸的基本領域の存在を示すことを証明し、古典的結果を高ランク射影幾何へ拡張した。