[論文レビュー] Convex computation of the region of attraction of polynomial control systems

Didier Henrion, Milan Korda|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、多項式制御系における半代数的制約を伴う吸引領域（ROA）を計算するための凸最適化アプローチを提案する。問題を占有測度上の無限次元線形計画問題（LP）として定式化し、有限次元の線形行列不等式（LMIs）の階層を用いることで、漸近的に収束する外部近似を得る。保守的でない近似が得られ、従来の双対リャプノフ法に比べて非凸または保守的な条件を避ける、プライマルで凸な代替手法を提供する。

ABSTRACT

We address the long-standing problem of computing the region of attraction (ROA) of a target set (e.g., a neighborhood of an equilibrium point) of a controlled nonlinear system with polynomial dynamics and semialgebraic state and input constraints. We show that the ROA can be computed by solving an infinite-dimensional convex linear programming (LP) problem over the space of measures. In turn, this problem can be solved approximately via a classical converging hierarchy of convex finite-dimensional linear matrix inequalities (LMIs). Our approach is genuinely primal in the sense that convexity of the problem of computing the ROA is an outcome of optimizing directly over system trajectories. The dual infinite-dimensional LP on nonnegative continuous functions (approximated by polynomial sum-of-squares) allows us to generate a hierarchy of semialgebraic outer approximations of the ROA at the price of solving a sequence of LMI problems with asymptotically vanishing conservatism. This sharply contrasts with the existing literature which follows an exclusively dual Lyapunov approach yielding either nonconvex bilinear matrix inequalities or conservative LMI conditions. The approach is simple and readily applicable as the outer approximations are the outcome of a single semidefinite program with no additional data required besides the problem description.

研究の動機と目的

• 非線形多項式制御系に状態制約および入力制約を伴う吸引領域（ROA）を計算するという長年の課題に取り組む。
• 既存の双対リャプノフに基づく手法に内在する保守的・非凸的条件を避ける、凸的でプライマルなROA計算問題の定式化を開発する。
• 有限次元の線形行列不等式（LMIs）の階層を用いた計算的に実行可能なフレームワークを提供し、ROAの半代数的外部近似を生成する。
• システムの記述以外に追加のデータを必要とせず、近似が真のROAに漸近的に収束することを保証する。
• 得られたLMI緩和問題を解くために公開済みのソフトウェアを用いた実装を可能にする。

提案手法

• 非負Borel測度の空間上での非負な占有測度に関する無限次元線形計画問題（LP）としてROA計算を定式化する。
• モーメント理論および平方和（SOS）を用いて、非負連続関数上の双対無限次元LPを多項式SOS関数で近似する。
• モーメント行列および局所化行列の制約を緩和することで、有限次元の線形行列不等式（LMIs）の階層を構築し、ROAの漸近的に収束する外部近似を得る。
• モーメント行列のフル・カラム・ランクと強い双対性を活用することで、凸性と収束性を保証し、弱い仮定のもとで双対ギャップがゼロになることを保証する。
• 標準的な半正定値計画法（SDP）ソルバーを用いて実装し、システムの動的特性と制約集合のみを入力として必要とする。
• 緩和の順序を1つずつ増加させることで、入れ子になった半代数的外部近似を生成し、順序が高くなるほど精度が向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式制御系の吸引領域は、従来の双対リャプノフ法に比べて保守的でない凸的・プライマルな定式化により計算可能か？
• RQ2 占有測度上の無限次元線形計画問題としてROA計算を定式化でき、有限次元のLMI緩和の収束する階層を可能にするか？
• RQ3 多項式最適化技術を用いて、漸近的に消失する保守性を持つ半代数的外部近似をROAに対して生成する方法は何か？
• RQ4 モーメント行列と局所化行列は、真のROAに収束するLMI緩和の階層を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ5 本手法は、追加の問題固有データや反復的精緻化を必要とせず、標準的なSDPソルバーを用いて効率的に実装可能か？

主な発見

• 半代数的制約を伴う多項式制御系の吸引領域（ROA）は、占有測度上の凸的無限次元線形計画問題（LP）として計算可能である。
• 無限次元LPの定式化は本質的にプライマルである。これは、システムの軌道を直接最適化対象としているため、ROA計算問題が凸であることを保証する。
• 有限次元の線形行列不等式（LMIs）の階層により、漸近的に収束する入れ子の半代数的外部近似が得られ、保守的でない近似が実現される。
• モーメント行列のフル・カラム・ランクのおかげで強い双対性が成立し、双対ギャップがゼロになるため、LMI緩和の収束が信頼性をもって保証される。
• 本手法は計算的に実行可能であり、システムの動的特性と制約集合のみを入力とすればよく、標準的な半正定値計画法（SDP）ソルバーを用いた簡単な実装が可能である。
• 本手法は、非凸なバイナリ行列不等式（BMI）や保守的なLMI条件に依存する従来の手法とは対照的に、より信頼性が高く体系的な代替手法を提供する。