[論文レビュー] Convex Constrained Semialgebraic Volume Optimization: Application in Systems and Control

Ashkan Jasour, Constantino Lagoa|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2017

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、確率的制御、吸引領域の近似、不変集合の計算といった非凸なシステムおよび制御問題を、凸な半代数的体積最適化という枠組みに再定式化する手法を提案する。この手法は、測度とモーメント理論および平方和（SOS）多項式表現を活用し、収束するSDP緩和問題の階層を構築する。その最適値は、実際の実行可能集合の体積に収束し、従って元来取り扱いにくい問題に対しても、計算可能でグローバルに収束する解法を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we generalize the chance optimization problems and introduce constrained volume optimization where enables us to obtain convex formulation for challenging problems in systems and control. We show that many different problems can be cast as a particular cases of this framework. In constrained volume optimization, we aim at maximizing the volume of a semialgebraic set under some semialgebraic constraints. Building on the theory of measures and moments, a sequence of semidefinite programs are provided, whose sequence of optimal values is shown to converge to the optimal value of the original problem. We show that different problems in the area of systems and control that are known to be nonconvex can be reformulated as special cases of this framework. Particularly, in this work, we address the problems of probabilistic control of uncertain systems as well as inner approximation of region of attraction and invariant sets of polynomial systems. Numerical examples are presented to illustrate the computational performance of the proposed approach.

研究の動機と目的

• 非凸なシステムおよび制御問題を、計算的に取り扱いにくい問題であるがために、凸緩和枠組みを構築すること。
• 確率制約最適化を一般化し、半代数的制約下での体積最大化問題を凸的かつ取り扱いやすい問題に定式化すること。
• 多項式系における吸引領域および不変集合の内部近似を、半代数的集合の体積最大化を通じて可能にすること。
• 制約付き半代数的集合の真の最適体積に収束する、半定値計画法（SDP）の階層を提供すること。
• 測度とモーメント理論および平方和多項式表現を用いて、理論的収束保証を確立すること。

提案手法

• 多項式不等式によって定義される2つの集合 S1(a) と S2(a) に対して、S1(a) ⊆ S2(a) を満たすように、半代数的集合 S1(a) の体積を最大化する問題に定式化する。
• 測度とモーメント理論を用いて、体積をボレル測度上の積分として表現し、非負測度上の線形汎関数の最大化問題に変換する。
• 平方和（SOS）表現から得られるモーメント行列と局所化行列を用いて、有限次元の半定値計画法（SDP）の階層を構築する。
• ラッセルレ階層を用いて、制約付き集合の真の最適体積に収束する凸SDP緩和問題の系列を生成する。
• 無限次元空間における線形計画法の双対性理論を適用し、コンパクト性および内部性の条件下で双対ギャップがゼロであることを確立する。
• L1ノルム最小化とSOS緩和を用いて、実行可能集合の特性関数の多項式近似を実施し、その関数を近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 システムおよび制御分野における非凸体積最大化問題は、モーメントおよび平方和技術を用いて凸最適化問題に再定式化可能か？
• RQ2 半定値計画法（SDP）の階層は、制約付き半代数的集合の最適体積を収束的に近似可能か？
• RQ3 提案された枠組みは、多項式系の吸引領域および不変集合を体積最大化を通じて効果的に近似可能か？
• RQ4 測度に基づく原問題とその双対SDP緩和問題との間に、双対ギャップがゼロとなる理論的条件は何か？
• RQ5 SDP階層の収束性は、多項式近似の次数および制約の構造にどのように依存するか？

主な発見

• 提示されたSDP緩和の階層は、制約付き半代数的集合の真の最適体積に収束する最適値の列を提供する。
• 実行可能集合のコンパクト性および内部性といった弱い仮定のもとで、元の非凸問題の最適解へのグローバル収束を達成する。
• 数値的実験により、ベンチマーク系および制御問題における本手法の計算的性能と実用的妥当性が示された。
• 無限次元測度問題とその有限次元SDP緩和問題との間の双対ギャップはゼロであり、これはバナッハ＝アラオグルの定理と弱-*連続性によって保証される。
• 近似次数を増加させることで、特性関数の多項式近似が真の特性関数に収束することが保証され、これにより実行可能集合 Ad が真の実行可能集合 AF に収束することが保証される。
• 本手法により、確率的制御、吸引領域、不変集合の問題が、収束性が保証された凸体積最大化問題にうまく再定式化された。