[論文レビュー] Convex expansion for finite distributive lattices with applications

Xu Wang, Xuxu Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限分配的ラティスにおける'カット'の概念を導入し、従来の構成を一般化する新しい凸拡張法を可能にする。有限分配的ラティスの基本定理を活用して、ランク生成関数を導出し、凸ブール部分ラティスおよび特定の要素を数え上げ、meet-irreducibleなposetにおける反鎖構造を通じて、多面体の一般化されたオイラー公式を検証する。

ABSTRACT

The concept of cutting is first explicitly introduced. By the concept, a convex expansion for finite distributive lattices is considered. Thus, a more general method for drawing the Hasse diagram is given, and the rank generating function of a finite distributive lattice is obtained. In addition, we have several enumerative properties on finite distributive lattices and verify the generalized Euler formula for polyhedrons.

研究の動機と目的

• 『カット』という新しい概念を用いて、有限分配的ラティスにおける凸拡張の概念を形式化・一般化すること。
• フィルター・ラティスおよび関連構造のハッセ図を一元的に構成するための方法を提供すること。
• 有限分配的ラティスにおけるランク生成関数を導出し、凸ブール部分ラティスおよび特定の要素を数え上げること。
• meet-irreducibleなposetにおける反鎖構造と関連付けて、多面体の一般化されたオイラー公式を検証すること。

提案手法

• カットを、すべての最大鎖がそれに交わる凸部分ラティスとして定義し、有限分配的ラティスの基本定理を用いて2通りの同値な特徴づけを与える。
• ラティス $ L = \mathcal{F}(P) $ に関連するposet $ P $ を、$ \hat{0}_K $ よりも大きい最大元 $ S_0 $ と $ \hat{1}_K $ よりも小さい最小元 $ S_1 $ に接続された新しい要素 $ x_K $ を追加することで拡張し、凸拡張演算 $ L \boxplus K $ を定義する。
• ラティス分解 $ L = \uparrow\hat{0}_K \cup \downarrow\hat{1}_K $、カット条件、および $ S = P_K * x_K $ を満たす $ x_K $ の存在が同値であることを確立する。
• posetの拡張を用いて、与えられた次数の要素数および凸ブール部分ラティスの数に対する再帰的関係を、二項変換を介して導出する。
• この枠組みをフィボナッチ立方体およびルカス立方体に適用し、それらのランク生成関数および数え上げ的不変量に対する再帰的関係を導出する。
• 一般化されたオイラー公式 $ \chi = 1 $ を $ Q_L(-1) = 1 $ を示すことにより検証する。ここで $ Q_L(x) $ はランク生成関数であり、$ D_L^{-}(0) = 1 $（ラティスにおける唯一の最小元に対応）であることから成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限分配的ラティスにおける凸拡張は、これまでの構成を超えてどのように一般化可能か？
• RQ2 有限分配的ラティスにおける'カット'の正確な代数的および組合せ的特徴づけは何か？
• RQ3 ランク生成関数および凸ブール部分ラティスの数は、meet-irreducibleなposetの構造とどのように関係するか？
• RQ4 多面体の一般化されたオイラー公式は、ラティス論的不変量を通じて検証可能か？

主な発見

• 本稿では、部分ラティス $ K $ がラティス $ L $ のカットであるための必要十分条件として、$ L = \uparrow\hat{0}_K \cup \downarrow\hat{1}_K $ が成り立つこと、あるいは $ L = \mathcal{F}(P) $ であるposet $ P $ に対して、$ S_0 $ と $ S_1 $ がそれぞれ $ \hat{0}_K $ よりも大きい最大元および $ \hat{1}_K $ よりも小さい最小元であるとき、すべての $ z \in S_0 $、$ y \in S_1 $ に対して $ z < y $ が成り立つことが示された。
• 凸拡張 $ L \boxplus K $ は、poset $ P $ に新しい要素 $ x_K $ を追加することで構成され、$ x_K $ は $ S_0 $ のすべての要素を被覆し、$ S_1 $ のすべての要素に被覆される。これにより、明確なハッセ図を持つ新たなラティスが得られる。
• ラティス $ L $ の凸ブール部分ラティスの数を $ q_k(L) $ とすると、$ q_k(L) = \sum_{j=k}^{m} \binom{j}{k} d_j^{-}(L) $ を満たす。ここで $ d_j^{-}(L) $ は、$ \mathop{\mathrm{Mi}}(L) $ におけるサイズ $ j $ の最大反鎖の数を表す。
• ランク生成関数 $ Q_L(x) $ は、$ Q_L(x) = D_L^{-}(1+x) $ を満たす。ここで $ D_L^{-}(x) $ は、$ \mathop{\mathrm{Mi}}(L) $ における各サイズの最大反鎖の数の母関数である。
• 一般化されたオイラー公式 $ \chi = 1 $ は、$ Q_L(-1) = 1 $ を示すことにより検証された。これは $ D_L^{-}(0) = 1 $ であること（ラティスにおける唯一の最小元に対応）から成立する。
• フィボナッチ立方体 $ \Gamma_n $ およびルカス立方体 $ \Lambda_{2n} $ に対して、再帰的関係 $ F_{m+n} = F_m F_{n+1} + F_{m-1} F_n $ および $ L_{2n} = F_{2n+1} + F_{2n-1} $ がそれぞれ導出された。