[論文レビュー] Convex Forms that are not Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、軌道体双対体の断片の体積推定と非負の多項式と二乗和の間の双対性を用いて、二乗和で表せない凸形式の存在を証明する。固定された次数に対して、凸形式の錐が二乗和の錐よりも漸近的に大きいことを示し、凸形式の錐が二乗和の錐を真に含むことを確立するが、明示的な例は構成しない。

ABSTRACT

An orbitope is the convex hull of an orbit of a point under the action of a compact group. We derive bounds on volumes of sections of polar bodies of orbitopes, extending our previously developed methods. As an application we realize the cone of convex forms as a section of the cone of nonnegative bi-homogeneous forms and estimate its volume. A convex form has to be nonnegative, but it has not been previously shown that there exist convex forms that are not sums of squares. Combining with the known bounds we show that if the degree is fixed then the cone of convex forms has asymptotically same size as the cone of nonnegative forms and it is significantly larger asymptotically than the cone of sums of squares. This implies existence of convex forms that are not sums of squares, although there are still no known examples.

研究の動機と目的

• 非負であるにもかかわらず二乗和で表せない凸形式が存在することを確立すること。
• 固定された次数に対して、凸形式の錐、非負形式の錐、二乗和の錐の相対的漸近的サイズを分析すること。
• 群表現論と関数ノルムを用いて、軌道体の極体の断片の体積境界を導出すること。
• 非負形式と二乗和の間の双対性を活用して、それらの幾何的サイズを比較すること。
• 固定された次数に対して、凸形式の錐が二乗和の錐よりも漸近的に大きいことを示し、非自明な包含関係を示すこと。

提案手法

• 特に SO(n) を用いて、コン pact 群作用の下での群軌道の凸包として、対称な凸集合をモデル化するための軌道体を用いる。
• 双対性を適用し、軌道体の双対体を非負の双斉調和多項式の錐に関連付ける。
• 線形汎関数の L∞ と L2k ノルムの間の不等式を用いて、双対軌道体の断片の体積境界を導出する。
• 安定化子の対称性を活用して、群軌道のテンソル積の次元を表現論を用いて境界づける。
• 球面上の調和解析とストークスの定理を用いて、形式の勾配およびラプラシアンの L2 ノルムを推定する。
• 同次多項式空間上の内積構造を用いて、ヘッセ行列のヒルベルト＝シュミットノルムと L2 ノルムを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二乗和で表せない凸形式は存在するか？
• RQ2 変数の数が増加する際、凸形式の錐、非負形式の錐、二乗和の錐の漸近的体積はどのように比較できるか？
• RQ3 軌道体双対体の断片の体積推定を用いて、形式の錐同士の幾何的包含関係を推論できるか？
• RQ4 群の対称性（例えば、安定化子）は、軌道ベクトルのテンソル積の次元をどのように低減させるか？
• RQ5 固定された次数に対して、高次元における凸形式の錐は二乗和の錐よりも真に大きいのか？

主な発見

• 固定された次数に対して、凸形式の錐は二乗和の錐よりも漸近的に大きいことが示され、二乗和で表せない凸形式の存在が保証される。
• 双対軌道体の断片の体積境界から、凸錐の相対的サイズが漸近的に非負錐のサイズと一致することが示される。
• 不等式 ||l||∞ ≤ αk||l||2k を用いて、断片の正規化体積の下界が得られ、αk は (gv)⊗k の生成する部分空間の次元に依存する。
• 高い対称性を持つ形式（例えば x₁²ᵈ）に対しては、テンソル積 (gv)⊗k が全対称冪よりも小さい空間を生成するため、体積境界が改善される。
• ヘッセに基づく内積 ⟨g,g⟩_H は、次数 d と次元 n に依存する定数倍の L2 内積 ⟨g,g⟩₂ で上から抑えられる。
• 調和関数 f を用いて g = (||x||²)^m f と表される形式のラプラシアンは、単位球面上で Δg = 2m(n + 4d - 2m - 2)g を満たし、L2 ノルムの推定が可能になる。