[論文レビュー] Convex projective generalized Dehn filling

Suhyoung Choi, Gye‐Seon Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、d=4,5,6 の場合に、境界付きの完全かつ有限体積な双曲的 d-多様体の例を初めて構成した。これらの多様体は、無限に多くの一般化されたデーン埋め込みが、適切に凸な実射影構造を持つ軌道体を生じることを示している。コクセター多面体と変形理論を用いて、著者たちはこれらの構造が、Gromov-双曲的相対群から生じることを示し、射影的 d-空間における非厳密に凸な可除領域を構成した。これは、双曲幾何学を超えてデーン埋め込み現象を拡張するものである。

ABSTRACT

For $d=4, 5, 6$, we exhibit the first examples of complete finite volume hyperbolic $d$-manifolds $M$ with cusps such that infinitely many $d$-orbifolds $M_{m}$ obtained from $M$ by generalized Dehn filling admit properly convex real projective structures. The orbifold fundamental groups of $M_m$ are Gromov-hyperbolic relative to a collection of subgroups virtually isomorphic to $\mathbb{Z}^{d-2}$, hence the images of the developing maps of the projective structures on $M_m$ are new examples of divisible properly convex domains of the projective $d$-space which are not strictly convex, in contrast to the previous examples of Benoist.

研究の動機と目的

• デーン埋め込みの適用範囲を3次元双曲多様体から高次元に拡張すること。
• 境界付きの完全かつ有限体積な双曲的 d-軌道体（d=4,5,6）を構成し、その一般化されたデーン埋め込みが適切に凸な実射影構造を持つこと。
• ベンアールの厳密に凸な例とは対照的に、射影的 d-空間における可除的で非厳密に凸な領域の新しい例を生み出すこと。
• これらの射影的構造において、Z^{d-2} の部分群に対して相対的 Gromov-双曲性が保たれることを示すこと。
• ラベル付きコクセター多面体の変形空間を用いた、このような構造を構成する枠組みを確立すること。

提案手法

• π の部分倍角を持つ二面体角を有する双曲的コクセター d-多面体を構成し、離散的反射群が得られることを保証する。
• デーン埋め込み操作をモデル化するため、組合せ論的および幾何的制約のもとでラベル付きコクセター多面体 G_m^i を定義する。
• 変形空間 C(G_m^i) を用いて、埋め込み軌道体 M_m 上の射影的構造をパrameter化する。
• 多面体 P_m の極限を解析し、群作用の適切な凸性と相対コンパクト性を検証する。
• コクセター群およびランナー多面体の理論を適用し、相対的双曲性と非退化性を保証する。
• 発展写像が、厳密に凸でないが可除的で適切に凸な RP^d 内の領域を生じることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元以上における有限体積な双曲的 d-軌道体（d≥4）の一般化されたデーン埋め込みが、適切に凸な実射影構造を持つことができるか？
• RQ2 このような射影的構造は無限に多くの埋め込みに対して存在するか。また、それらは幾何学的に相異なるか？
• RQ3 得られる射影的構造が、RP^d 内で可除的で非厳密に凸な領域を生じるか？
• RQ4 埋め込み軌道体の基本群の代数的構造は何か。また、Z^{d-2} の部分群に対して Gromov-双曲的であるか？
• RQ5 コクセター多面体が、高次元におけるこのような射影的構造を構成的につくるための有効な道具であるか？

主な発見

• d=4,5,6 の場合、境界付きの完全かつ有限体積な双曲的 d-軌道体を構成し、その一般化されたデーン埋め込みが適切に凸な実射影構造を持つことが示された。
• 各多様体に対して、無限に多くのこのような埋め込みが存在し、それらは Z^{d-2} の部分群に対して相対的 Gromov-双曲的である基本群を持つ軌道体を生じる。
• これらの構造の発展写像の像は、可除的で適切に凸だが、厳密に凸でない RP^d 内の領域である。
• この構成は、ラベル付きコクセター多面体の変形空間 C(G_m^i) に依存しており、これらは空でなく、離散的かつ相対コンパクトな作用を支持する。
• これらの例は、d≥4 に対して、射影的 d-空間における可除的で非厳密に凸な領域を初めて得たものである。
• この方法により、デーン埋め込み現象が双曲幾何学を超えて実射影構造の分野へと拡張された。