[論文レビュー] Convex Relaxations with Second Order Cone Constraints for Nonconvex Quadratically Constrained Quadratic Programming

Rujun Jiang, Duan Li|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 25被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、有効な2次錐（SOC）制約を構築し、線形制約との積を線形化することで、非凸な二次制約二次プログラム（QCQP）に対する新たな凸緩和手法を提案する。この手法により、緩和のタイトネスが向上し、双対ギャップが縮小され、数値実験を通じてその有効性が示された。

ABSTRACT

In this paper, we present new convex relaxations for nonconvex quadratically constrained quadratic programming (QCQP) problems. Since the basic semidefinite programming relaxation is often too loose for general QCQP, recent research has focused on strengthening convex relaxations using valid linear or second order cone (SOC) inequalities. In this paper, we con- struct valid second order cone constraints for nonconvex QCQP and reduce the duality gap using these valid constraints. Specifically, we decompose and relax the nonconvex constraints to two SOC constraints and then linearize the products of the SOC constraints and linear constraints to achieve some new valid constraints. Moreover, we introduce and generalize two recent tech- niques for generating valid inequalities to further enhance our method. We demonstrate the efficiency of our results with numerical experiments.

研究の動機と目的

• 非凸QCQPにおける標準的な半正定値プログラミング緩和の弱さを是正するため、よりタイトな凸緩和を構築すること。
• 有効な2次錐（SOC）制約を導入することで、非凸QCQPにおける緩和ギャップを強化すること。
• SOC制約と線形制約の積の線形化を通じて、凸緩和の品質を向上させること。
• 有効不等式を生成する最近の技術を一般化し、緩和の強度を高めること。
• 数値実験を通じて、提案された緩和手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 非凸QCQP制約を2つの2次錐（SOC）制約に分解することで、凸緩和を可能にする。
• SOC制約と線形制約の積の線形化を通じて、新たな有効不等式を構築する。
• 2つの最近の有効不等式生成技術を統合・一般化し、さらに緩和をタイトにする。
• 追加されたSOC制約と線形制約を含む凸最適化問題として緩和を定式化し、タイトネスを向上させる。
• 双対性理論を活用して、元の非凸問題とその凸緩和との間の双対ギャップを縮小する。
• 提案された緩和の性能とタイトネスを評価するために、数値実験を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸QCQPの凸緩和を強化するために、どのように効果的に2次錐制約を構築できるか？
• RQ2 SOC制約と線形制約の積を線形化することで、緩和のタイトネスはどのように向上するか？
• RQ3 提案された有効不等式は、既存のものと比較して双対ギャップをどれほど縮小するか？
• RQ4 有効不等式を生成するための一般化された技術は、緩和の品質をどの程度向上させるか？
• RQ5 提案された緩和手法は、ベンチマークQCQPインスタンス上でどのように実証的性能を示すか？

主な発見

• 提案手法は、有効な2次錐制約を組み込むことで、非凸QCQPにおける双対ギャップを成功裏に縮小した。
• SOC制約と線形制約の積の線形化により、新たな有効不等式が生成され、緩和がタイトになった。
• よりタイトで計算的に効率的な緩和を提供するため、標準的な半正定値プログラミング緩和を上回った。
• 有効不等式を生成するための一般化された技術は、緩和の強度とよりタイトな境界の向上に寄与した。
• 数値実験により、テストインスタンスにおける提案された緩和アプローチの効率性と有効性が確認された。
• 非凸QCQPにおけるベースライン凸緩和と比較して、提案手法はより優れた解の品質を示した。