[論文レビュー] Convex Spaces I: Definition and Examples

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、一貫した凸結合を備えた集合としての凸空間を、結合条件を満たす二項演算の族によって定義するカテゴリカルな枠組みを導入する。これは確率的（幾何的）および可能性的（組合せ的）構造—例えばベクトル空間の凸部分集合や下付き半ラティス—を統一し、凸空間が両者を一般化することを示しており、例として半ラティス上のファイバー束のような混合型構造が含まれる。

ABSTRACT

We propose an abstract definition of convex spaces as sets where one can take convex combinations in a consistent way. A priori, a convex space is an algebra over a finitary version of the Giry monad. We identify the corresponding Lawvere theory as the category from arXiv:0902.2554 and use the results obtained there to extract a concrete definition of convex space in terms of a family of binary operations satisfying certain compatibility conditions. After giving an extensive list of examples of convex sets as they appear throughout mathematics and theoretical physics, we find that there also exist convex spaces that cannot be embedded into a vector space: semilattices are a class of examples of purely combinatorial type. In an information-theoretic interpretation, convex subsets of vector spaces are probabilistic, while semilattices are possibilistic. Convex spaces unify these two concepts.

研究の動機と目的

• ベクトル空間への埋め込みに依存しない、抽象的な凸空間の定義。
• ベクトル空間内の確率的凸集合（幾何的）と、半ラティスのような可能性的構造（組合せ的）を一つの枠組みで統一すること。
• Lawvere理論とモノイドを用いた凸結合のカテゴリカルな基礎の構築。
• 凸空間が、半ラティスのような非幾何的・離散的構造を含むことの証明。
• 幾何学、組合せ論、理論物理学にまたがる多様な例を通じて、この枠組みの適用例を提示すること。

提案手法

• 結合の結合的・可換的性質に加え、単位演算との一貫性を満たす二項演算の族によって凸空間を定義する。
• Fri09 からのLawvere理論を用いて、圏論的代数から公理を導出する。
• 有限型のGiryモノイドの代数として凸空間を特徴付ける。
• 凸写像を各ファイバー間で持つ、半ラティス上のファイバー束として混合型凸空間を構成する。
• 偏順序集合 S から凸空間への関手を用いた、一般化された混合型空間 Sf ⋉C· の構成を導入する。
• 凸集合の凸集合、主観的確率を伴うロトテリー、無限遠点を含む空間などの例にこの枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル空間に依存せずに、凸結合をどのように抽象的に定義できるか？
• RQ2 ベクトル空間の凸部分集合以外の、凸空間の公理を満たす数学的構造のクラスは何か？
• RQ3 確率的（幾何的）構造と可能性的（組合せ的）構造が、一つの枠組みの中でどのように関係するか？
• RQ4 凸空間は、半ラティスと凸ファイバーを持つような単純な成分に分解可能か？
• RQ5 得られる凸空間の圏の圏論的および代数的性質は何か？

主な発見

• 凸空間は、ベクトル空間内の確率的凸集合と組合せ的半ラティスの両方を一般化し、二つの異なるパラダイムを統一する。
• 半ラティス、例えば部分集合の共通下界や自然数の割り切れ性における下付き演算は、凸結合としての下付き演算を備えた凸空間を形成する。
• 混合型凸空間が存在する。例えばロトテリーの例では、[0,1) と ∆{a,b} が特別な凸結合則によって組み合わされる。
• ベクトル空間の凸部分集合の空間はミンコフスキー和に関して凸空間をなすが、幾何的でも組合せ的でもない。
• 構成 Sf ⋉C· は、混合型凸空間を一般化し、無限遠点への拡張も含む。
• 1/2(0,1) + 1/2[0,1] = (0,1) のような例は、凸集合の凸集合の凸空間が幾何的性質を満たさないことを示しており、これはベクトル空間の凸集合とは本質的に異なることを証明する。