[論文レビュー] Convex Splitting Method for the Calculation of Transition States of Energy Functional

Shuting Gu, Xiang Zhou|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2016

Block Copolymer Self-Assembly参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、エネルギー関数に対する指数1の鞍点（遷移状態）を、アレン＝キャーンおよびカーン＝ヒリャード系のようなエネルギー関数の形で、反復的最小化定式化（IMF）内に凸分割法を導入することで、計算を高効率に実行する手法を提案する。各IMFサイクルにおいて補助的関数の凸分割を適用することにより、任意の時間刻みのエネルギー安定性が保証され、大きな時間刻みが可能となり、1次元および2次元のモデル、特にランダウ＝ブライゾフスキー関数に対しても、計算の大幅な効率化が達成される。

ABSTRACT

Among numerical methods for partial differential equations arising from steepest descent dynamics of energy functionals (e.g., Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations), the convex splitting method is well-known to maintain unconditional energy stability for a large time step size. In this work, we show how to use the convex splitting idea to find transition states, i.e., index-1 saddle points of the same energy functionals. Based on the iterative minimization formulation (IMF) for saddle points (SIAM J. Numer. Anal., vol. 53, p1786, 2015), we introduce the convex splitting method to minimize the auxiliary functional at each cycle of the IMF. We present a general principle of constructing convex splitting forms for these auxiliary functionals and show how to avoid solving nonlinear equations. The new numerical scheme based on the convex splitting method allows for large time step sizes. The new methods are tested for the one dimensional Ginzburg-Landau energy functional in the search of the Allen-Cahn or Cahn-Hilliard types of transition states. We provide the numerical results of transition states for the two dimensional Landau-Brazovskii energy functional for diblock copolymers.

研究の動機と目的

• 空間的に拡張された系におけるエネルギー関数の指数1の鞍点（遷移状態）を効率的に計算する数値的手法の開発を目的とする。
• 勾配流れのシミュレーションにおいてエネルギー安定性が保証されることが知られている凸分割法を、鞍点計算に適応するための反復的最小化定式化（IMF）に応用することを目的とする。
• IMFにおける補助的最小化サブプロブレムの解法において、標準的手法の安定性制限を克服するために、大きな時間刻みを可能にする手法を目的とする。
• 1次元ギンツブルグ＝ランドウおよび2次元ランダウ＝ブライゾフスキーのエネルギー関数に対して、$H^{-1}$および$L^2$ノルムの下で、本手法の頑健性と計算効率を実証することを目的とする。
• 状態の勾配に対する最小モードの直交性を強制することで、並進モードに起因する誤った収束という実用的課題に対処することを目的とする。

提案手法

• 本手法は、各IMFサイクルが補助的関数の凸分割によりサブプロブレムを解くことによって実行される、反復的最小化定式化（IMF）に凸分割法を統合する。
• 補助的関数$L$を凸部と凹部に分解する一般的手順を提案し、これにより大きな時間刻みでもエネルギーが無条件に安定するように保証する。
• 非線形方程式を各時間刻みで解く必要がなくなるように、半implicitかつ線形化された定式化を用いることで、計算効率を向上させる。
• 補助的関数に用いられる最小モードが空間勾配$\partial_x \phi$に対して直交していることを保証することで、自明な並進モードへの収束を回避する。
• 精度と計算コストのバランスを保つために、サブプロブレムに適応的な停止ルールを適用し、IMFの2次収束速度を維持する。
• 1次元ギンツブルグ＝ランドウおよび2次元ランダウ＝ブライゾフスキーのモデルに対して本手法を検証し、数値結果から大きな時間刻みでも安定な収束が得られることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸分割法は、指数1の鞍点を計算するための反復的最小化定式化（IMF）に効果的に適応可能か？
• RQ2 IMFにおける補助的関数に対する凸分割アプローチは、無条件エネルギー安定性を保証し、大きな時間刻みを可能にするか？
• RQ3 本手法は、系の並進不変性に起因する誤った解への収束を効果的に回避できるか？
• RQ4 標準的手法と比較して、IMFにおける凸分割法の導入による遷移状態計算の計算効率の向上はどの程度か？
• RQ5 本手法は、ジブロックコポリマーに適応されるランダウ＝ブライゾフスキーモデルのような他のエネルギー関数へ一般化可能か？

主な発見

• IMFフレームワーク内に適用された凸分割法により、任意の時間刻みのエネルギー安定性が達成され、安定性の損失を伴わずに大きな時間刻みが可能になる。
• 1次元ギンツブルグ＝ランドウエネルギーに対しては、$L^2$ノルム下でアレン＝キャーン型、$H^{-1}$ノルム下でカーン＝ヒリャード型の両方の遷移状態が、本手法により正常に計算可能である。
• 2次元ランダウ＝ブライゾフスキーモデルにおいても、大きな時間刻みでも安定な遷移状態に収束することが確認され、高次元でも頑健性が示された。
• 状態の空間勾配に対する最小モードの直交性を強制することで、自明な並進モードへの収束が回避され、物理的に意味のある鞍点探索が保証される。
• 広範な数値実験により、本手法が2次収束を維持し、標準的手法と比較して著しく計算効率が向上することが確認された。
• 本手法は、勾配流れのための既存のエネルギー安定スキームを、鞍点計算に効率的なツールへ再利用可能な一般枠組みを提供する。