[論文レビュー] Convex Structured Controller Design

Krishnamurthy Dvijotham, Emanuel Todorov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、逆入出力マップの特異値に基づく新しい制御目的を導入することにより、構造的線形フィードバック制御則設計のための新しい凸最適化フレームワークを提案する。固定デターミナント性（ボーデの感度積分）を活用することで、任意の凸制約下で非凸な構造的制御問題を凸問題に変換でき、分散型、遅延付き、またはスパースなシステムの最適制御則の効率的計算が可能となり、理論的なサブ最適性保証が得られる。

ABSTRACT

We consider the problem of synthesizing optimal linear feedback policies subject to arbitrary convex constraints on the feedback matrix. This is known to be a hard problem in the usual formulations ($\Htwo,\Hinf,\LQR$) and previous works have focused on characterizing classes of structural constraints that allow efficient solution through convex optimization or dynamic programming techniques. In this paper, we propose a new control objective and show that this formulation makes the problem of computing optimal linear feedback matrices convex under arbitrary convex constraints on the feedback matrix. This allows us to solve problems in decentralized control (sparsity in the feedback matrices), control with delays and variable impedance control. Although the control objective is nonstandard, we present theoretical and empirical evidence that it agrees well with standard notions of control. We also present an extension to nonlinear control affine systems. We present numerical experiments validating our approach.

研究の動機と目的

• スパarsity や遅延などの凸制約下での構造的線形制御則合成のNP困難性に対処すること。これにより、標準的な動的計画法やLQR手法の適用が不可能となる。
• 既存の周波数領域的手法や非凸手法に起因する制限を克服し、構造的制御則設計に適した凸最適化を可能にする新しい制御目的を開発すること。
• 新しい凸目的関数とH₂およびH∞ノルムといった標準的指標との間の理論的関係を確立し、サブ最適性の境界を提供すること。
• 時間変動型および非線形制御アフィン系へのフレームワークの拡張を図ること。
• 数値実験を通じて本手法の有効性を検証し、非凸最適化手法に比べて性能向上を示すこと。

提案手法

• 本手法は、不審から状態軌道への線形写像Fの特異値に基づく新しい制御目的を導入する。Fは状態共分散行列のコレスキー因子に相当する。
• Fの特異値の積が固定（ボーデの感度積分に起因）であることに着目し、H₂およびH∞ノルムの凸近似が可能となる。
• 新しい目的関数はフィードバックゲイン行列Kの凸関数として定式化され、Kに任意の凸制約を課した上での効率的解法が可能となる。
• 入出力マップの逆行列を用いることで、H₂およびH∞ノルムの上界が得られ、これらはKに関して凸であり、代理目的関数として機能する。
• 非線形系への一般化には、同様の凸化技術を制御アフィンダイナミクスに拡張することで実現する。
• 真のH₂またはH∞最適制御則に対する近似の程度を定量的に示すサブ最適性境界を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の凸制約（例：スパarsityや遅延）下で、構造的線形制御則設計のための凸最適化フレームワークを構築できるか？
• RQ2 構造的制約下でのH₂またはH∞ノルム最小化という非凸問題を、凸代理目的関数によってどのように近似できるか？
• RQ3 新しい凸目的関数と元の非凸H₂/H∞性能指標との間の理論的関係は何か？
• RQ4 提案手法を時間変動型および非線形制御アフィン系に拡張可能か？
• RQ5 実際の応用において、本凸手法で合成された制御則の性能は非凸最適化手法に比べてどのように異なるか？

主な発見

• 提案された凸最適化フレームワークにより、任意の凸制約（分散型制御のためのスパarsityパターンなど）下で最適な線形フィードバック制御則を効率的に計算可能である。
• 数値実験では、H₂およびH∞性能指標において、標準的な非凸手法に比べて優れた性能とより速い収束性を示した。
• 理論的サブ最適性境界により、凸問題の解が真のH₂またはH∞最適性能の制御された要因内に収まることが保証された。
• フレームワークは時間変動型線形系および非線形制御アフィン系へも一般化可能であり、標準的なLQR設定を超えた応用範囲を有する。
• 逆マップの特異値の使用により、従来非凸であった目的関数（例：状態遷移マップのノルム）の凸化が可能となった。
• 本手法は、入出力マップのデターミナントが固定である（ボーデの感度積分）という性質を活用して、効率的かつ凸な制御設計アルゴリズムを設計する初の手法である。