[論文レビュー] Convexification method for a coefficient inverse problem and its performance for experimental backscatter data for buried targets

Michael V. Klibanov, Aleksandr E. Kolesov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、埋蔵対象物からの実験的バックスキャッタデータを用いて3次元係数逆問題（CIP）を解くための凸化手法を提示する。カルレマン重み関数を用いて、グローバルに強く凸であるコスト関数を構築することで、局所的最小値に陥ることなくグローバル収束を保証する。この手法により、高いノイズレベル下でも屈折率定数および位置の正確な再構成が可能であり、実際の埋蔵物体の実験データを用いた検証で、ほとんどの場合で10%未満の誤差を達成した。

ABSTRACT

We present in this paper a novel numerical reconstruction method for solving a 3D coefficient inverse problem with scattering data generated by a single direction of the incident plane wave. This inverse problem is well-known to be a highly nonlinear and ill-posed problem. Therefore, optimization-based reconstruction methods for solving this problem would typically suffer from the local-minima trapping and require strong a priori information of the solution. To avoid these problems, in our numerical method, we aim to construct a cost functional with a globally strictly convex property, whose minimizer can provide a good approximation for the exact solution of the inverse problem. The key ingredients for the construction of such functional are an integro-differential formulation of the inverse problem and a Carleman weight function. Under a (partial) finite difference approximation, the global strict convexity is proven using the tool of Carleman estimates. The global convergence of the gradient projection method to the exact solution is proven as well. We demonstrate the efficiency of our reconstruction method via a numerical study of experimental backscatter data for buried objects.

研究の動機と目的

• 単一の入射平面波方向からの散乱データを用いた3次元係数逆問題（CIP）に対して、グローバル収束する数値的手法を開発すること。
• 従来の最適化ベースの手法の限界、例えば局所的最小値に陥ることや、強い事前情報に依存することを克服すること。
• シミュレートデータとははるかに難しい状況である、埋蔵対象物の実験的バックスキャッタデータへの凸化手法の拡張。
• 実世界のノイズの多い測定データから、埋蔵物体の屈折率定数および空間的位置を再構成する際のグローバル収束性と高い精度を実証すること。

提案手法

• カルレマン推定に基づいて導出されたカルレマン重み関数（CWF）を用いて、重み付きコスト関数を構築し、関数のグローバルに強く凸であることを保証する。
• CWFはヘルムホルツ作用素に対するカルレマン推定から導出され、勾配投影法のグローバル収束を可能にする。
• 2次元空間変数に対しては半離散有限差分近似を用い、3番目の変数は連続のままである。これにより、計算の実行可能性と理論的厳密性の両立が図られる。
• 反復的尾関数の最適化を回避し、小さな波数区間を必要としないため、従来のグローバル収束手法に比べてより高いロバスト性を実現する。
• データ前処理として、リファレンス差分とバックプロパゲーションを実施し、信号対ノイズ比を向上させ、対象物の位置を推定する。
• コスト関数の最小化は、勾配投影法を用いて実施され、真の解の近傍にのみ依存するノイズと離散化誤差に依存したグローバル収束が理論的に保証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸化に基づく手法は、埋蔵対象物からの実験的バックスキャッタデータを用いた3次元係数逆問題において、グローバル収束を達成できるか？
• RQ2 カルレマン重み関数を用いることで、コスト関数がどのようにグローバルに強く凸化され、局所的最小値を避けて真の解に収束するのか？
• RQ3 ノイズが多く、データが限られている状況下でも、本手法は埋蔵物体の屈折率定数および空間的位置をどれほど正確に再構成できるか？
• RQ4 小さな波数区間の必要性や反復的尾関数の最適化を要件としないという点で、本手法は従来のグローバル収束手法と比較してどのような仮定の違いを有するか？

主な発見

• 本手法は、6体の埋蔵対象物の屈折率定数を再構成し、計算誤差は1.23%から9.63%の範囲に収まり、いずれも測定誤差と同等またはそれ未満であった。
• すべてのケースにおいて、再構成された係数の最大値の位置が真の対象物位置から0.25 m以内に収束しており、高い空間的精度を示した。
• 物体3（岩）の場合、再構成された屈折率定数は5.07で、9.63%の誤差を示したが、これは21.3%の測定誤差よりも低く、ロバスト性を示した。
• 解の近傍に関する事前知識を必要とせず、ノイズと離散化誤差のレベルにのみ依存してグローバル収束を達成した。
• 物体2および4（ジオードおよびシカモア）の再構成画像は、パラビューの等高線フィルタを用いて可視化したところ、正確な形状とよく一致した。
• 各対象物に対して最適な周波数および波数区間が特定され、異なる材料およびサイズの対象物に対しても一貫した性能を示した。