[論文レビュー] Convexity and monotonicity for the elliptic integrals of the first kind and applications

Zhen-Hang Yang, Jing-Feng Tian|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、第1種完全楕円積分 $\mathcal{K}(r)$ を含む組み合わせの単調性および凸性の性質を調査する。新しい解析的道具を用いて、$\mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$ が $(0,1)$ で厳密に凹関数であるのは $c = e^{4/3}$ のときに限ることを証明し、$\mathcal{K}(r)$ や関連関数の鋭い不等式および境界を導出する。

ABSTRACT

The elliptic integral and its various generalizations are playing very important and basic role in different branches of modern mathematics. It is well known that they cannot be represented by the elementary transcendental functions. Therefore, there is a need for sharp computable bounds for the family of integrals. In this paper, by virtue of two new tools, we study monotonicity and convexity of certain combinations of the complete elliptic integrals of the first kind, and obtain new sharp bounds and inequalities for them. In particular, we prove that the function $\mathcal{K}\left( \sqrt{% x} ight) /\ln \left( c/\sqrt{1-x} ight) $ is concave on $\left( 0,1 ight) $ if and only if $c=e^{4/3}$, where $\mathcal{K}$ denotes the complete elliptic integrals of the first kind.

研究の動機と目的

• 第1種完全楕円積分 $\mathcal{K}(r)$ の新しい鋭い境界および不等式を確立すること。これは初等関数では表現できない。
• 関数 $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$ の $(0,1)$ における凸性および単調性を調査し、特にそれが凹関数であるような $c$ の正確な値を同定すること。
• 関連関数の凸性や単調性といった高階の性質を分析することで、$\mathcal{K}(r)$ の既知の漸近的および比較的不等式を拡張すること。
• $\mathcal{K}(r)$ 及びその組み合わせ（特にモジュラス $\mu(r)$）の新しい推定値を、凸性および凹性の結果を用いて提供すること。
• 擬等角写像理論および特殊関数における既存の境界を改善することを目的として、関連関数の凸性に関する未解決問題および予想を提示し、動機を示すこと。

提案手法

• 関数 $\mathcal{K}(r)$ および対数項を含む関数の導関数の符号および単調性を分析するために、2つの新しい解析的道具（補題1および補題2）を用いる。
• 特に $x=1$ 近傍での振る舞いに注目したガウス超幾何関数 $F(a,b;c;x)$ の性質を適用し、$\mathcal{K}(r)$ の漸近展開を導出する。
• 超幾何関数の微分公式を用いて $Q_1(x)$ および $D(x)$ の導関数を計算し、凸性および単調性の分析を可能にする。
• $r \to 1^-$ のときの漸近展開 $\mathcal{K}(r) \sim \ln(4 / r')$ を用いて、対数関数を含む比較関数の構築を誘導する。
• 既知の $\mathcal{K}(r)/\ln(c / r')$ の比の単調性に関する結果を、凹性および凸性の分析に拡張する。
• ベータ関数およびガンマ関数、ならびにディガンマ関数 $\psi(z)$ を用いて、漸近展開および不等式における定数を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$ が $(0,1)$ で厳密に凹関数であるような $c$ の値は何か？
• RQ2 $Q_1(x)$ が凸または対数凹関数であるための条件は何か。また、これらの性質は $\mathcal{K}(r)$ の境界をどのように改善するか？
• RQ3 関数 $Q_2(r) = \mathcal{K}(r) / \ln(1 + 4 / r')$ は $(0,1)$ で凸または凹関数か。この性質は $\mathcal{K}(r)$ の境界にどのような含意を持つか？
• RQ4 $D(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) - \ln(1 + 4 / \sqrt{1-x})$ が凸であるか、またはその2階微分が単調であることを示せるか？
• RQ5 $Q_1(x)$ が $(0,1)$ で凸であるような最良のパrameter $c$ は何か。あるいは $1/Q_1(x)$ が凹関数であるような $c$ は？

主な発見

• $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$ が $(0,1)$ で厳密に凹関数であるのは $c = e^{4/3}$ のときに限る。これは凹関数性の鋭い閾値を提供する。
• $c = e^{4/3}$ のとき、関数 $Q_1(x)$ は $(0,1)$ で厳密に単調減少であり、対数凹関数であり、$1/Q_1(x)$ は凸関数である。
• 関数 $D(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) - \ln(1 + 4 / \sqrt{1-x})$ は $(0,1)$ で厳密に凸であり、その導関数 $D'(x)$ は符号をただ一度だけ変える。これは一意の最小値を示している。
• $Q_2(r) = \mathcal{K}(r) / \ln(1 + 4 / r')$ は $(0,1)$ で厳密に単調増加であり、これは $\mathcal{K}(r)$ の対数的表現による境界の改善を意味する。
• $r \in (0,1)$ に対して、二重不等式 $\ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2) + p r^2 < \mathcal{K}(r) < \ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2) + q r^2$ が成り立つのは $p \leq \pi/8 - 2/5$ かつ $q \geq \ln 5 - \pi/2$ のときに限る。これは鋭い2次境界を提供する。
• $\mathcal{K}(r) < \ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2)(1 - r)$ という予想が、$D(x)$ の凸性により確認された。これは以前に提示された不等式の新しい証明を提供する。