[論文レビュー] Convexity of Hamiltonian manifolds

Friedrich Knop|ArXiv.org|Dec 13, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、Weylチャネルへの射影における作用量写像の逆像の連結性によって定義される、凸作用量多様体の概念を導入する。凸性が、凸な運動量像、連結なファイバー、および開作用量写像を意味することを証明し、主要なクラス（例えば、コンパクト多様体、ユニタリ表現、余接バンドル）がすべて凸であることを示す。また、すべての作用量多様体が局所的に凸であることも示す。

ABSTRACT

Let K be a connected Lie group and M a Hamiltonian K-manifold. In this paper, we introduce the notion of convexity of M. It implies that the momentum image is convex, the moment map has connected fibers, and the total moment map is open onto its image. Conversely, the three properties above imply convexity. We show that most Hamiltonian manifolds occuring "in nature" are convex (e.g., if M is compact, complex algebraic, or a cotangent bundle). Moreover, every Hamiltonian manifold is locally convex. This is an expanded version of section 2 of my paper dg-ga/9712010 on Weyl groups of Hamiltonian manifolds.

研究の動機と目的

• 作用量多様体における病理的挙動を排除するための作用量写像に関する位相的条件を形式化すること。
• コンパクトおよびユニタリの場合に知られている運動量像の凸性とファイバーの連結性という性質を、一つの構造的概念に統合すること。
• 作用量写像の開性が凸性の必要十分条件となるような凸性の基準を確立すること。
• 基本的な作用量多様体のクラス（例：余接バンドル、コンパクト多様体）が凸であることを示すこと。
• すべての作用量多様体が局所的に凸であることを証明し、一般の設定への凸性の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 作用量写像 $\mu$ と Weyl チャネル $\mathfrak{t}^+$ への射影の合成として定義される写像 $\psi: M \to \mathfrak{t}^+$ を導入し、各点に $K$-軌道の $\mathfrak{t}^+$ 内の唯一の代表元を割り当てる。
• 任意の $u,v \in \psi(M)$ に対して $\psi^{-1}(\overline{uv})$ が連結であるという条件を用いて、線分上のファイバーの位相的整合性を保証する形で、凸性の概念を定義する。
• Sjamaar による作用量写像の局所構造に関する結果を用いて、(i) 凸な像、(ii) 連結なファイバー、(iii) 開写像 という条件が、すべて凸性と同値であることを証明する。
• 局所構造定理を適用し、任意の点の近傍が、作用量多様体として凸であることを示す。
• 余接バンドルの作用量写像の斉次性と $\mathbb{R}_{>0}$-作用を用いて、$\psi(T^*X) = C_x$（ゼロ断面における局所的錐）であることを証明し、凸性を導出する。
• 任意の $M$ において $\psi(M)$ の affine な包が一定であり、$\psi(M)$ の相対的内部が $\psi(M)$ で稠密であることを、局所凸性と開性を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用量写像にどのような位相的条件を課すと、作用量多様体が病理的挙動を避けることができるか？
• RQ2 運動量像の凸性とファイバーの連結性を、一つの構造的条件に統合できるか？
• RQ3 作用量写像の開性が、作用量多様体における凸性の必要十分条件であるか？
• RQ4 コンパクト多様体、ユニタリ表現、余接バンドルなどの標準的クラスの作用量多様体のうち、どのクラスが凸性条件を満たすか？
• RQ5 すべての作用量多様体が局所的に凸なもので近似可能か？ そして、そのような性質がグローバルトポロジーに与える影響は何か？

主な発見

• 作用量多様体 $K$-多様体の凸性は、次を同時に満たすことと同値である：(i) $\psi(M) \subseteq \mathfrak{t}^+$ の凸性、(ii) $\psi$ のファイバーの連結性、(iii) 写像 $\psi: M \to \psi(M)$ の開性。
• すべてのコンパクト作用量多様体 $K$-多様体は凸である。同様に、連結な複素代数的ケーラー多様体および余接バンドル $T^*X$ についても凸である。
• 群 $K$ のユニタリ表現は凸である。これは、Kirwanの凸性定理をコンパクトでない場合に拡張したものである。
• 凸多様体の運動量像 $\psi(M)$ は局所的に凸多面体であり、その相対的内部は $\psi(M)$ で稠密である。
• 任意の $x \in M$ に対して、$x$ の近傍 $U$ が存在し、$\psi(U)$ が局所的錐 $C_x$ で開であり、かつ $\psi^{-1}(\psi(U))$ が凸である。
• すべての作用量多様体 $K$-多様体は局所的に凸である。つまり、任意の点は作用量的意味で凸な近傍を持つ。これは、非コンパクトかつ非代数的設定への凸性の一般化を可能にする。