[論文レビュー] Convexity of solutions and Brunn-Minkowski inequalities for Hessian equations in $\\R^3$

Paolo Salani|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、凸関数のミンコフスキー加法を用いて、$\mathbb{R}^3$ におけるヘシアン方程式の解の新たな凸性性質を確立する。$S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$ の解に対して $v = -\log(-u)$ が凸であることを証明し、$S_2(D^2u) = 1$ の解に対しては $v = -\sqrt{-u}$ が凸であることを示す。さらに、$2$-耐荷重剛性関数 $\tau_2(\Omega)$ に対するブラウン＝ミンコフスキー不等式を確立し、3次元における完全非線形ヘシアン作用素へ古典的不等式を拡張する。

ABSTRACT

By using Minkowski addition of convex functions, we prove convexity and rearrangement properties of solutions to some Hessian equations in $\\R^3$ and Brunn-Minkowski and isoperimetric inequalities for related functionals.

研究の動機と目的

• 3次元におけるヘシアン方程式 $S_k(D^2u) = f$ ($k=2$) の解の凸性性質を確立すること。特に、べき関数型非線形性を有するディリクレ問題を対象とする。
• 3次元における $k$-耐荷重剛性関数 $\tau_k(\Omega)$ に対してブラウン＝ミンコフスキーおよび等周不等式を拡張すること。
• 定数ランク技法の代替として、凸関数のミンコフスキー加法を用いた既存の凸性結果の新たな証明を提供すること。
• 表現式と変分法を用いて、$2$-耐荷重剛性関数 $\tau_2(\Omega)$ に対するミンコフスキー問題の可能性を検討すること。

提案手法

• 凸関数のミンコフスキー加法を用いて、変換解 $v = -\log(-u)$ および $v = -\sqrt{-u}$ の凸性を分析する。
• 変分的技法を適用し、境界 $\partial\Omega$ で消える $k$-凸関数の下で $\tau_k(\Omega)$ を下界として定義し、その性質を研究する。
• 単位球面上のサポート関数および $(n-k)$-面積測度を用いて、$\tau_2(\Omega)$ の表現式を導出する。これにより、境界における勾配と関連づける。
• 変換解の凸性とミンコフスキーの混合体積論を活用し、$\tau_2(\Omega)$ に対するブラウン＝ミンコフスキー不等式を確立する。
• 非線形性 $S_2(D^2u) = \lambda (-u)^p$ ($p \in (0,2)$) のより広いクラスに一般化し、$v = -(-u)^{(2-p)/4}$ の凸性を証明する。
• 存在性および正則性のための自然なクラスとして、$C^{3,1}$ 境界および正の平均曲率を有する $\mathcal{C}_1^+$ 領域（凸集合）の構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^3$ 内の $\mathcal{C}_1^+$ 領域 $\Omega$ において $S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$ を満たす解 $u$ に対して、$v = -\log(-u)$ は凸であるか？
• RQ2 $\mathbb{R}^3$ 内の $\mathcal{C}_1^+$ 領域 $\Omega$ において $S_2(D^2u) = 1$ を満たす解 $u$ に対して、$v = -\sqrt{-u}$ は凸であるか？
• RQ3 $\mathbb{R}^3$ における $2$-耐荷重剛性関数 $\tau_2(\Omega)$ に対してブラウン＝ミンコフスキー不等式を確立できるか？
• RQ4 ロジャース＝シェパード不等式は $\tau_2(D\Omega)$ に対して成り立つのか、すなわち、ある普遍定数 $C$ に対して $\tau_2(D\Omega) \leq C \tau_2(\Omega)$ が成り立つか？
• RQ5 導出された表現式を用いて、$2$-耐荷重剛性関数 $\tau_2(\Omega)$ に対するミンコフスキー問題を定式化できるか？

主な発見

• $S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$ を満たす $\mathcal{C}_1^+$ 領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 内の解 $u$ に対して、関数 $v = -\log(-u)$ は凸である。
• $S_2(D^2u) = 1$ を満たす $\mathcal{C}_1^+$ 領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 内の解 $u$ に対して、関数 $v = -\sqrt{-u}$ は凸である。
• $p \in (0,2)$ に対して、$S_2(D^2u) = \lambda (-u)^p$ を満たす $\mathcal{C}_1^+$ 領域における解 $u$ に対して、関数 $v = -(-u)^{(2-p)/4}$ は凸である。
• $2$-耐荷重剛性関数 $\tau_2(\Omega)$ に対してブラウン＝ミンコフスキー不等式が成り立つ。すなわち、$\Omega_0, \Omega_1 \in \mathcal{C}_1^+$ に対して $\tau_2(\Omega_0 + \Omega_1)^{1/10} \geq \tau_2(\Omega_0)^{1/10} + \tau_2(\Omega_1)^{1/10}$ が成り立つ。
• $\tau_2(\Omega)$ の表現式が導出された：$\tau_2(\Omega) = \frac{1}{10} \int_{S^2} h_\Omega(X) |Du(\nu_\Omega^{-1}(X))|^3 d\sigma^\Omega_1(X)$。これは境界データおよび曲率測度と関連づけられる。