[論文レビュー] Convexity properties for generalized moment maps I

Yasufumi Nitta|ArXiv.org|Oct 21, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトで連結な $H$-twisted 一般化複素多様体上のハミルトニアントーラス作用における一般化されたモーメント写像の凸性および連結性の性質を確立する。Lin と Tolman の枠組みに基づき、一般化されたモーメント写像の像が固定点成分におけるモーメント写像値の凸包であることを証明し、ボット＝モーゼ関数解析を用いて、古典的なシンプレクティック凸性定理を一般化複素幾何学へと拡張する。

ABSTRACT

We study generalized moment maps for a Hamiltonian action on a connected compact $H$-twisted generalized complex manifold introduced by Lin and Tolman and prove the convexity and connectedness properties of the generalized moment maps for a Hamiltonian torus action.

研究の動機と目的

• シンプレクティック幾何学におけるアティヤおよびギュイレミン＝シュテルンバーグの古典的凸性および連結性定理を、一般化複素幾何学へと拡張すること。
• コンパクトで連結な $H$-twisted 一般化複素多様体上のハミルトニアントーラス作用における一般化されたモーメント写像の凸性および連結性を確立すること。
• 固定点における値の凸包としてのモーメント写像像の特徴付けを、一般化複素幾何学の文脈へと一般化すること。

提案手法

• Lin と Tolman が定義した、$H$-twisted 一般化複素多様体上のハミルトニアン作用における一般化されたモーメント写像の概念を適応する。
• 一般化されたモーメント写像 $\mu: M \to \mathfrak{t}^*$ 及びその成分関数 $\mu_i$ を、偶数の指数および余指数をもつボット＝モーゼ関数として分析する。
• 横断性の議論を用いて、$\mu^\xi$ の臨界多様体がレベル集合と横断的に交わることを示し、位相的制御を確保する。
• ボット＝モーゼ関数の理論を適用し、$\mu$ のレベル集合が連結であること、および像が凸であることを証明する。
• リー代数の元の有理独立性を用いて、$\mu^\xi$ の最大値が固定点成分で達成されることを示す。
• 双対性および凸包の議論を用いて、$\mu$ の像が固定点成分の像の凸包であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな $H$-twisted 一般化複素多様体上のハミルトニアントーラス作用における一般化されたモーメント写像は、シンプレクティックの場合と同様に凸性および連結性の性質を満たすか？
• RQ2 一般化されたモーメント写像の像を、固定点成分におけるモーメント写像値の凸包として特徴付けられるか？
• RQ3 ボット＝モーゼ関数の技法は、一般化複素幾何学の文脈における一般化されたモーメント写像にどのように適用されるか？
• RQ4 リー代数の元の有理独立性は、一般化されたモーメント写像の像を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 一般化複素幾何学の文脈において、特にオーロリッドを含めて、凸性および連結性の定理はどの程度成立するか？

主な発見

• 一般化されたモーメント写像 $\mu$ のレベル集合は連結であり、シンプレクティックにおける連結性結果を一般化する。
• 一般化されたモーメント写像 $\mu$ の像は凸であり、アティヤ＝ギュイレミン＝シュテルンバーグの凸性定理を一般化複素幾何学へと拡張する。
• トーラス作用の固定点集合は、有限個の連結で偶数次元の部分多様体 $C_1, \dots, C_N$ に分解され、$\mu$ はそれら上で定数である。
• 像 $\mu(M)$ は点 $a_1, \dots, a_N$ の凸包であり、ここで $a_i = \mu(C_i)$ である。これにより、モーメント写像像の明確な特徴付けが得られる。
• 任意の点 $a \in \mathfrak{t}^*$ が $\{a_1, \dots, a_N\}$ の凸包に属さない場合、$\sup \mu^\xi(p) < a(\xi)$ を満たすベクトル $\xi \in \mathfrak{t}$ が存在し、$a \notin \mu(M)$ を示す。
• 結果は $H$-twisted 一般化複素オーロリッドに対しても拡張可能であり、固定点成分は今や連結な部分オーロリッドとなる。