[論文レビュー] Convexity splitting in a phase field model for surface diffusion

Rainer Backofen, Steven M. Wise+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、固体状態のデューティング現象を3次元でシミュレートするために、表面拡散のためのフェーズフィールドモデルに新たなローゼンブロック凸分割スキームを提案する。この手法により、精度が向上し、時間ステップを大幅に大きくできる。凸性分割とローゼンブロック時間積分法を組み合わせることで、標準的な凸分割スキームと比較して、最大安定時間ステップが少なくとも1桁向上する。エネルギー安定性を維持するとともに、収束性の向上も達成される。

ABSTRACT

Convexity splitting like schemes with improved accuracy are proposed for a phase field model for surface diffusion. The schemes are developed to enable large scale simulations in three spatial dimensions describing experimentally observed solid state dewetting phenomena. We introduce a first and a second order unconditionally energy stable scheme and carefully elaborate the loss in accuracy associated with large time steps in such schemes. We then present a family of Rosenbrock convex splitting schemes. We show the existence of a maximal numerical timestep and demonstrate the increase of this maximal numerical time step by at least one order of magnitude using a Rosenbrock method. This scheme is used to study the effect of contact angle on solid state dewetting phenomena.

研究の動機と目的

• フェーズフィールド表面拡散シミュレーションにおいて、大きな時間ステップを使用した場合に生じる精度の低下を是正すること。
• 大規模な3次元シミュレーションにおいて、許容可能な時間ステップを著しく拡大しつつエネルギー安定性を維持する時間積分法の開発。
• 接触角や異方性の影響を含めた、3次元空間における固体状態のデューティング現象の詳細な数値的検証を可能にすること。
• ローゼンブロックに基づく凸分割スキームが、標準的な半陽的凸分割スキームに比べ、安定性および精度の面で優れていることを示すこと。

提案手法

• 表面拡散のためのフェーズフィールドモデルに対して、一階および二階の無条件エネルギー安定な凸分割スキームを定式化し、エネルギーを凸部と非凸部に分割する。
• エネルギーを凸部と非凸部に分解することで、無条件エネルギー安定性を保証する凸分割アプローチを採用する。
• 標準的な陰的時間積分を置き換えるために、ローゼンブロック型時間積分スキーム（ROS34RW2）を導入し、安定性を損なわずに大きな時間ステップを可能にする。
• 標準的な勾配流れ構造を破る非定数の移動度および強化関数を扱うために、適切な近似と安定化を施したアプローチを適用する。
• 2次元での数値的検証により、標準的な凸分割スキームと比較して、精度が向上し、最大安定時間ステップが顕著に増加することが確認された。
• 本手法を3次元シミュレーションに拡張し、接触角や異方性効果を含む大規模な固体状態のデューティングのモデリングを可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸性分割スキームをどのように改善すれば、フェーズフィールド表面拡散シミュレーションにおいて、精度を損なわずに著しく大きな時間ステップを許容できるか？
• RQ2 ローゼンブロック時間積分法を用いることで、表面拡散モデルに対する凸性分割スキームの安定性および精度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 提案されたローゼンブロック凸分割スキームが、標準的な凸分割スキームと比較して、達成可能な最大安定時間ステップはどの程度か？
• RQ4 接触角が、3次元における固体状態のデューティング過程における形態進化にどのように影響を与えるか？ 本改善された数値スキームがどのように捉えているか？
• RQ5 本提案スキームは、複雑な界面エネルギーの異方性を有する表面拡散の、大規模3次元シミュレーションをどの程度可能にするか？

主な発見

• 提案されたローゼンブロック凸分割スキーム（ROS34RW2）は、標準的な半陽的凸分割スキームと比較して、最大安定時間ステップを少なくとも1桁向上させることができる。
• 非定数の移動度および強化関数を含む状況でも、無条件エネルギー安定性およびエネルギーノルムにおける最適収束性を維持する。
• 2次元での数値実験により、大きな時間ステップを使用した場合に、標準的な凸分割スキームよりも高い精度を達成していることが確認された。
• 本手法により、接触角効果や形態進化の研究が可能となる、大規模な3次元固体状態のデューティングシミュレーションが実現された。
• 界面エネルギーの弱い異方性および強い異方性の両方に対して、本スキームは安定しており、強い異方性の場合は、ウィルモア型ペナルティ項による適切な正則化が行われている。
• 凸性分割スキームにおける大きな時間ステップによる精度の低下は、ローゼンブロック時間積分法と組み合わせることで是正可能であることが、結果から示された。