[論文レビュー] Convoluted convolved Fibonacci numbers

Pieter Moree|ArXiv.org|Nov 12, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、フィボナッチ数列の母関数のウィット変換を用いて定義される「畳み込みされたフィボナッチ数の変種」$G_{j+1}^{(r)}$ と「符号反転付き畳み込みフィボナッチ数の変種」$H_{j+1}^{(r)}$ を導入し、それらの性質を分析する。これらの数が通常のフィボナッチ数およびラソス数を用いて明示的な式で表されることを示し、リー代数の次元公式を用いてその整数性および非負性を証明する。さらに、解析的整数論における定数 $B_{\rho}$ の高精度なL級数計算への応用も示している。

ABSTRACT

The convolved Fibonacci numbers F_j^(r) are defined by (1-z-z^2)^{-r}=\sum_{j>=0}F_{j+1}^(r)z^j. In this note some related numbers that can be expressed in terms of convolved Fibonacci numbers are considered. These numbers appear in the numerical evaluation of a certain number theoretical constant. This note is a case study of the transform {1/n}\sum_{d|n}mu(d)f(z^d)^{n/d}, with f any formal series and mu the Moebius function), which is studied in a companion paper entitled `The formal series Witt transform'.

研究の動機と目的

• フィボナッチ母関数のウィット変換として新しい数列 $G_{j+1}^{(r)}$ および $H_{j+1}^{(r)}$ を定義・研究すること。
• これらの数がフィボナッチ数およびラソス数を用いて明示的な式で表されることを確立すること。
• リー代数の次元公式を用いて、$G_{j+1}^{(r)}$ が非負整数であり、$H_{j+1}^{(r)}$ が符号 $(-1)^{r-1}$ の非ゼロ整数であることを証明すること。
• これらの結果を、素数を法とする乗法的位数の研究に現れる定数 $B_{\rho}$ の高精度数値評価に応用すること。

提案手法

• 生成関数 $f(z) = 1/(1 - z - z^2)$ および $f(z) = -1/(1 - z - z^2)$ のウィット変換の係数として $G_{j+1}^{(r)}$ および $H_{j+1}^{(r)}$ を定義する。
• ウィット変換の公式 ${\cal W}_f^{(r)}(z) = \frac{1}{r} \sum_{d|r} \mu(d) f(z^d)^{r/d}$ を用いて、$G_{j+1}^{(r)}$ および $H_{j+1}^{(r)}$ を畳み込みフィボナッチ数の形で表現する。
• 自由リー代数との関係を特定し、$G_{j+1}^{(r)}$ および $H_{j+1}^{(r)}$ をそれぞれ均一部分空間 $M(n_1,\dots,n_r)$ および $V_1(n_1,\dots,n_r)$ の次元の和として特定する。
• ウィットの自由リー代数の次元公式を活用し、$G_{j+1}^{(r)}$ の整数性および非負性、および $H_{j+1}^{(r)}$ の符号条件を導出する。
• 得られた結果を応用し、定数 $B_{\chi}$ をディリクレL級数を含む無限積として表現する。その指数は $G_{j-3r+1}^{(r)}$ および $(-1)^{r-1}H_{j-3r+1}^{(r)}$ で与えられ、既知のL級数値を用いた高精度評価が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィボナッチ母関数のウィット変換を用いて、畳み込みフィボナッチ数に関連する新しい整数列をどのように定義できるか。
• RQ2 新しい数列 $G_{j+1}^{(r)}$ および $H_{j+1}^{(r)}$ と古典的なフィボナッチ数およびラソス数との明示的関係は何か。
• RQ3 $G_{j+1}^{(r)}$ が非負整数である理由は何か。その性質の代数的または組合せ論的根拠は何か。
• RQ4 これらの数列を用いて、解析的整数論における定数 $B_{\chi}$ を高精度に表現・評価できるか。
• RQ5 $j$ および $r$ を変数とする関数として、$G_{j+1}^{(r)}$ および $H_{j+1}^{(r)}$ の単調性および構造的性質は何か。

主な発見

• $G_{j+1}^{(r)}$ は非負整数であり、$G_{j+1}^{(r)} = \sum_{k=0}^{[j/2]} M(r,k,j-2k)$ と表せる。ここで $M(n_1,\dots,n_r)$ は与えられた多重度を持つ非周期的語の数を表す。
• $H_{j+1}^{(r)}$ は符号 $(-1)^{r-1}$ の非ゼロ整数であり、$H_{j+1}^{(r)} = \sum_{k=0}^{[j/2]} V_1(r,k,j-2k)$ を満たす。ここで $V_1$ は $M$ の符号付き変種である。
• 数列 $G_{j+1}^{(r)}$ は $r \geq 3$ のとき $j$ に関して厳密に増加し、$r = 1,2$ のとき非減少であり、この場合 $j \geq 2$ で厳密に増加する。
• 数列 $G_{j+1}^{(r)}$ は $j \geq 5$ のとき $r$ に関して厳密に増加し、$j \geq 3$ のとき非減少であり、少なくとも1つの項が厳密に増加する。
• 定数 $B_{\chi}$ は $A \cdot \frac{L(2,\chi)}{L(3,-\chi)} \cdot \prod_{r=1}^{\infty} \prod_{j=3r+1}^{\infty} L(j,(-\chi)^r)^{-e(j,r)}$ と表され、ここで $e(j,r) = G_{j-3r+1}^{(r)}$ である。この表現により、既知のL級数値を用いた高精度評価が可能になる。
• 定数 $B_{\chi}$ は別の表現 $A \cdot \frac{L(2,\chi)L(3,\chi)}{L(6,\chi^2)} \cdot \prod_{r=1}^{\infty} \prod_{j=3r+1}^{\infty} L(j,\chi^r)^{f(j,r)}$ とも表され、ここで $f(j,r) = (-1)^{r-1} H_{j-3r+1}^{(r)}$ である。これにより、異なる表現形式間の整合性が確認される。