[論文レビュー] Convoluted generalized white noise, Schwinger functions and their continuation to Wightman functions

Sergio Albeverio, Hanno Gottschalk+1 more|ArXiv.org|Sep 21, 2004

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$α \in (0,1)$ に対して $(-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ から導かれるカーネルを用いて一般化白色ノイズを畳み込むことで、ユークリッド空間上の確率的場 $X = G * F$ を構成し、そのスウィンガーゼル関数および切断されたスウィンガーゼル関数を導出し、ミンコフスキー空間上でのウィグトマン関数への解析接続を実行する。主な貢献は、スペクトル性、局所性、クラスタ性を満たす相対論的量子場理論の分布の厳密な導出であり、反射正性および散乱理論に関する部分的な結果も得られている。

ABSTRACT

We construct Euclidean random fields $X$ over $\R^d$, by convoluting generalized white noise $F$ with some integral kernels $G$, as $X=G* F$. We study properties of Schwinger (or moment) functions of $X$. In particular, we give a general equivalent formulation of the cluster property in terms of truncated Schwinger functions which we then apply to the above fields. We present a partial negative result on the reflection positivity of convoluted generalized white noise. Furthermore, by representing the kernels $G_\a$ of the pseudo--differential operators $(-\D + m^2_0)^{-α}$ for $α\in (0,1)$ and $m_0>0$ as Laplace transforms we perform the analytic continuation of the (truncated) Schwinger functions of $X=G_α* F$, obtaining the corresponding (truncated) Wightman distributions on Minkowski space which satisfy the relativistic postulates on invariance, spectral property, locality and cluster property. Finally we give some remarks on scattering theory for these models.

研究の動機と目的

• 一般化白色ノイズ $F$ をカーネル $G$ で畳み込むことにより、ユークリッド空間上の確率的場 $X = G * F$ を構成すること。ここで $G_\alpha = (-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ は $α \in (0,1)$ に対して定義される。
• これらの場のスウィンガーゼル関数を研究し、切断されたスウィンガーゼル関数を用いてそのクラスタ性を特徴づけること。
• 畳み込みされた一般化白色ノイズ場に対する反射正性を検討し、部分的な否定的結果を得ること。
• （切断された）スウィンガーゼル関数をミンコフスキー空間上でのウィグトマン分布へ解析接続することにより、相対論的不変性、スペクトル条件、局所性を保証すること。
• 得られたモデルにおける散乱理論を検討し、特にハグ＝ルイェ理論および状態の漸近的挙動の文脈で考察すること。

提案手法

• カーネル $G_\alpha = (-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ をラプラス変換として表現することで、解析接続を可能にする。
• ラプラス表現を用いて、切断されたスウィンガーゼル関数をラプラス変換として表現し、ミンコフスキー空間への接続を容易にする。
• 解析接続手順を適用して、ユークリッド空間上のスウィンガーゼル関数を、ウィグトマン公理を満たす相対論的ウィグトマン分布に変換する。
• クラスタ性を切断されたスウィンガーゼル関数の観点から特徴づけ、場の長距離挙動を分析する。
• 時間発展における状態 $\Psi(t)$ の漸近的挙動を分析し、重ならない速度空間領域の下で、自由状態への収束を示す。
• 状態空間における不定計量を扱うためにクリン空間構造を用い、修正されたウィグトマン公理に従う不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 畳み込みされた一般化白色ノイズ場のスウィンガーゼル関数は、相対論的不変性およびスペクトル性を保ちつつ、ミンコフスキー空間上でのウィグトマン関数へ解析接続可能か？
• RQ2 これらの場の切断されたスウィンガーゼル関数におけるクラスタ性はどのように現れるか？一般形として特徴づけ可能か？
• RQ3 畳み込みされた一般化白色ノイズ場に対して反射正性が成立するか、特に $α \in (0,1)$ の場合にどうか？
• RQ4 散乱状態の漸近領域における挙動は何か？このモデルはハグ＝ルイェ型の散乱理論を支持するか？
• RQ5 このモデルのウィグトマン分布が、特にノルムの正定性を除いて、すべてのウィグトマン公理を満たす条件は何か？

主な発見

• カーネル $G_\alpha = (-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ のラプラス表現を用いた解析接続により、切断されたスウィンガーゼル関数がウィグトマン分布に正しく接続され、相対論的不変性およびスペクトル性が保証される。
• 「明確な質量」を持つ切断されたスウィンガーゼル関数はラプラス変換として表現され、ミンコフスキー空間への接続が可能となり、明示的なフーリエ変換されたウィグトマン分布が導出可能である。
• $\alpha = \frac{1}{2}$ の場合、安定な1粒子状態が存在し、ハグ＝ルイェ理論の適用が可能となり、漸近領域における $\|\Psi(t)\|^2$ の正定性が保証される。
• ノルム $\|\Psi(t)\|^2$ は $t \to \pm\infty$ のとき $\|\Psi(0)\|^2_g$ に収束し、一般には $\sim (1+|t|)^{-3/2}$ の速度で収束するが、速度空間の支持が重ならない場合にはより速い収束を示す。
• このモデルはノルムの正定性を除き、すべてのウィグトマン公理を満たす。ノルムの正定性は、$F$ がガウス分布である場合を除き、成立しないか、未解決のままである。
• ウィグトマン分布はヒルベルト構造条件を満たし、稠密部分空間 $\underline{{\cal S}}$ 上で $\eta^2 = 1$ かつ $<\cdot,\cdot> = (\cdot, \eta \cdot)$ を満たす連続自己随伴作用素 $\eta$ を持つクリン空間の構成が可能である。