[論文レビュー] Convolution and involution on function spaces of homogeneous spaces

Arash Ghaani Farashahi|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト群 $G$ とコンパクト部分群 $H$ に対して、相対的に不変な測度 $μ$ を持つ $L^1(G/H, \mu)$ 上に明確に定義された畳み込みを確立し、その空間をバナッハ代数にしている。さらに、$L^1(G/H, \mu)$ 上に一般化された対合を導入し、$G$-不変測度が $L^1(G)$ から $L^1(G/H, \mu)$ への $*$-準同型を支持するための必要十分条件として、$H$ が $G$ において正規であることであることを示し、左および右の陪集合空間間の等長的反準同型写像を構成している。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and also let $H$ be a compact subgroup of $G$. It is shown that, if $μ$ is a relatively invariant measure on $G/H$ then there is a well-defined convolution on $L^1(G/H,μ)$ such that the Banach space $L^1(G/H,μ)$ becomes a Banach algebra. We also find a generalized definition of this convolution for other $L^p$-spaces. Finally, we show that various types of involutions can be considered on $G/H$.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群 $G$ およびコンパクト部分群 $H$ に対して、同次空間 $G/H$ の $L^1(G/H, \mu)$ 上に一貫性のある畳み込み演算を定義すること。
• $\mathcal{C}_c(G/H)$ 上の畳み込みを、連続性および稠密性の議論を用いて $L^1(G/H, \mu)$ 上に拡張すること。
• 相対的に不変測度および $G$-不変測度の下で、$L^1(G/H, \mu)$ 上の対合の存在および構造を調査すること。
• $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$ が $*$-準同型となる条件を特徴づけ、これと $H$ が $G$ において正規であることの関係を明らかにすること。
• rho-関数および測度変換を用いて、左陪集合空間 $G/_lH$ と右陪集合空間 $G/_rH$ 間の等長的反準同型写像を構成すること。

提案手法

• $\mathcal{C}_c(G)$ から $\mathcal{C}_c(G/H)$ への上への線形写像 $T_H$ を用い、$\mathcal{C}_c(G)$ 上の関数を引き戻すことで、$\mathcal{C}_c(G/H)$ 上に畳み込みを定義する。
• $\mathcal{C}_c(G/H)$ が $L^1(G/H, \mu)$ において稠密であることを利用し、連続性を用いて畳み込みを $L^1(G/H, \mu)$ 上に拡張する。
• 標準的対合および商写像 $T_H$ を用いて、$L^1(G/_lH, \mu_l)$ から $L^1(G/_rH, \mu_r)$ への一般化された対合 $^*_{l,r}$ を定義する。
• $(\varphi \ast_l \psi)^{*_{l,r}} = \psi^{*_{l,r}} \ast_r \varphi^{*_{l,r}}$ および $\|\varphi^{*_{l,r}}\| = \|\varphi\|$ を検証することで、$^*_{l,r}$ が等長的反準同型写像であることを確立する。
• rho-関数 $\rho$ を用いて、$G/H$ 上の相対的に不変測度 $\mu$ を構成し、$\int_{G/H} P_H(f) d\mu = \int_G f(x)\rho(x) dx$ を満たすようにする。
• 測度変換を定義する関係式 $ d\mu_x(yH) = \frac{\rho(xy)}{\rho(y)} d\mu(yH) $ を用い、対合の構成を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的に不変測度 $\mu$ を持つ $G/H$ 上で、$L^1(G/H, \mu)$ 上の畳み込みがどのような条件下でwell-definedとなるか？
• RQ2 $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$ が $*$-準同型となるのはいつか？
• RQ3 $H$ が $G$ において正規でない場合に、$L^1(G/H, \mu)$ 上にどのように一般化された対合を定義できるか？
• RQ4 左陪集合空間 $G/_lH$ と右陪集合空間 $G/_rH$ の間には、等長的反準同型写像としてどのような関係があるか？
• RQ5 $G/H$ 上の群構造に依存せずに、$L^1(G/H, \mu)$ 上の対合を独立に構成できるか？

主な発見

• 相対的に不変測度 $\mu$ を持つ $L^1(G/H, \mu)$ は、定義された畳み込みを備えることでバナッハ代数となる。
• $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$ が連続な $*$-準同型写像であるための必要十分条件は、$H$ が $G$ において正規部分群であることである。
• 等長的反準同型写像 $^*_{l,r}: L^1(G/_lH, \mu_l) \to L^1(G/_rH, \mu_r)$ が構成され、$(\varphi \ast_l \psi)^{*_{l,r}} = \psi^{*_{l,r}} \ast_r \varphi^{*_{l,r}}$ を満たす。
• 対合型写像 $^*_{l,r}$ は $\|\varphi^{*_{l,r}}\|_{L^1(G/_rH, \mu_r)} = \|\varphi\|_{L^1(G/_lH, \mu_l)}$ を満たし、等長性が保証される。
• $H$ が正規であれば、左および右の陪集合空間は一致し、対合型写像は $L^1(G/H, \mu)$ 上の標準的対合に簡略化される。
• 構成は、$G$ 上のハール測度と整合性を持つように、rho-関数 $\rho$ を用いて相対的に不変測度 $\mu$ を定義することに依存している。