[論文レビュー] Convolution and Product Theorem for the Special Affine Fourier Transform

Ayush Bhandari, Ahmed I. Zayed|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、特殊アフィンフーリエ変換（SAFT）のための2つの新しい畳み込み演算を導入し、変換領域における畳み込みと乗算の完全な双対性を確立する。これにより、先行研究における不整合性が解消される。主な貢献は、位相因子を含まずにフーリエ変換の積の公式を保つ畳み込み定理の確立であり、これにより前方および逆SAFT演算が一貫して行えるようになる。

ABSTRACT

The Special Affine Fourier Transform or the SAFT generalizes a number of well known unitary transformations as well as signal processing and optics related mathematical operations. Unlike the Fourier transform, the SAFT does not work well with the standard convolution operation. Recently, Q. Xiang and K. Y. Qin introduced a new convolution operation that is more suitable for the SAFT and by which the SAFT of the convolution of two functions is the product of their SAFTs and a phase factor. However, their convolution structure does not work well with the inverse transform in sofar as the inverse transform of the product of two functions is not equal to the convolution of the transforms. In this article we introduce a new convolution operation that works well with both the SAFT and its inverse leading to an analogue of the convolution and product formulas for the Fourier transform. Furthermore, we introduce a second convolution operation that leads to the elimination of the phase factor in the convolution formula obtained by Q. Xiang and K. Y. Qin.

研究の動機と目的

• 前方SAFT畳み込み定義における不整合性を解消すること。具体的には、積の逆変換が変換の畳み込みを返さない問題。
• SAFTおよびその逆変換と両立可能な畳み込み演算を構築し、畳み込み定理が対称的に成立することを保証すること。
• 項崎と秦による先行研究における位相因子を排除すること。
• SAFTが表すユニタリ変換の広いクラスに、フーリエ変換の畳み込み-積の双対性を一般化すること。
• SAFTに基づく信号処理におけるサンプリングおよび近似理論と関連する半離散的畳み込み構造の基盤を提供すること。

提案手法

• 位相因子を含まない形で、畳み込みのSAFTが変換の積に一致するように保証する、修正されたカーネルを用いた新しい畳み込み演算を提案。
• 項崎と秦の定式化に存在する位相因子を排除し、より洗練された積の公式を得るための第二の畳み込み演算を導出。
• 時間領域における2関数の積がSAFT領域で畳み込みに対応することを示す積の定理を確立。
• パラメータ $ a, b, c, d, p, q $ を含むSAFTのカーネル表現を用い、ユニタリティを保証する変換およびその逆変換を定義。
• 新しい畳み込み構造が、畳み込みの片側が乗算に対応する双対性原理を満たすことを示す。
• 特にフーリエ変換、分数階フーリエ変換、線形アフィン変換などの既知の特殊ケースと整合することを示し、結果の妥当性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SAFTに対して、畳み込みの変換が積の変換に一致し、位相因子を含まない畳み込み演算をどのように定義できるか。
• RQ2 項崎と秦による既存の畳み込み構造がなぜ逆SAFTと可換でないのか。その問題点を特定し、是正方法を提示する。
• RQ3 古典的フーリエ畳み込み定理を模倣する統一的畳み込み理論枠組みをSAFTに構築できるか。
• RQ4 2関数の時間領域における積とそのSAFT表現との関係は何か。
• RQ5 提案された畳み込み演算は、フーリエ変換、分数階フーリエ変換、線形アフィン変換に対する既知の結果をどのように一般化するか。

主な発見

• 提案された畳み込み演算により、$ \mathscr{T}_{\text{SAFT}}[f \star g](\omega) = \mathscr{T}_{\text{SAFT}}[f](\omega) \mathscr{T}_{\text{SAFT}}[g](\omega) $ が成立し、位相因子のない対称的畳み込み定理が達成される。
• 新しい畳み込み構造は逆SAFTと整合するため、2つのSAFTの積の逆変換が元の関数の畳み込みを返す。
• 項崎と秦の定式化に存在する位相因子を排除した第二の畳み込み演算が導入され、畳み込み式が簡素化される。
• 積の定理が確立され、時間領域における2関数の積がSAFT領域で畳み込みに対応し、双対性が完全に完成する。
• 結果は、フーリエ変換、分数階フーリエ変換、線形アフィン変換、オフセット変換を含む、SAFT族に属するすべてのユニタリ変換に一般化可能。
• 本フレームワークは、SAFTに基づく信号処理におけるサンプリングおよび近似理論における半離散的畳み込み構造の今後の開発を可能にする。