[論文レビュー] Convolution identities for Tribonacci numbers with symmetric formulae

Takao Komatsu, Rusen Li|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、3次方程式 $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$ の根を用いて、対称的公式と指数型母関数を用いてトリボナッチ数の畳み込み恒等式を導出し、高次元の恒等式を確立する。主な貢献は、初期値と正規化定数を明示的に計算することで、トリボナッチ数の積の和を高次元のトリボナッチ系列の線形結合として表現することにある。

ABSTRACT

Many kinds of convolution identities have been considered about several numbers, including Bernoulli, Euler, Genocchi, Cauchy, Stirling, and Fibonacci numbers. The well-known basic result about Bernoulli numbers is due to Euler. The convolution identities have been studied. In this paper, we give convolution identities for Tribonacci numbers without binomial coefficients and with binomial coefficients. Convolution identities of Fiboancci numbers or Lucas numbers can be expressed in the form of linear combinations of Fibonacci numbers and Lucas numbers only. Fibonacci numbers and Lucas numbers are in pairs with different values. Covolution identities of Tribonacci numbers can be expressed in the linear combination of several Tribonacci numbers with different values. Symmetric formulas are basic tools for these expressions.

研究の動機と目的

• フィボナッチ数およびルカス数の畳み込み恒等式を、3階線形再帰に従うトリボナッチ数へ拡張すること。
• 特にトリボナッチ系列に適用可能な、高次元線形再帰に一般化可能な対称的公式技術の開発。
• 初期条件が異なるトリボナッチ型系列の線形結合として、3つ以上のトリボナッチ数の積の和を表現すること。
• 特徴的3次方程式の根と指数型母関数を用いて、高次元畳み込み恒等式の明示的公式を導出すること。

提案手法

• 3次方程式 $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$ の根 $\alpha, \beta, \gamma$ を含む、トリボナッチ数のバイネ型公式を利用する。
• 形 $\sum_{n=0}^\infty T_n^{(a,b,c)} \frac{x^n}{n!} = c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{\beta x} + c_3 e^{\gamma x}$ の指数型母関数に、対称的公式を適用する。ここで $c_i$ は根から導かれる係数である。
• 対称的指数関数的表現の積を、高次元トリボナッチ系列の母関数に等置することで、畳み込み恒等式を導出する。
• 多項係数および対称和技術を用いて、$\sum_{k_1+k_2+k_3=n} T_{k_1}T_{k_2}T_{k_3}$ のような和を、新しい初期値を持つトリボナッチ系列の線形結合として表現する。
• 係数 $s_{i,j}^{(n)}$ および正規化定数 $A_i^{(n)}$ の再帰的関係を用いて、次数間の一貫性を維持する。
• 代数的変形および根の性質を応用して、高次元トリボナッチ系列 $T_k^{(a,b,c)}$ の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィボナッチ数およびルカス数の対称的恒等式に類似した形で、トリボナッチ数の畳み込み恒等式を表現できるか？
• RQ2 母関数を用いて、トリボナッチ数の高次畳み込み恒等式（例：三重積）を体系的に導出できるか？
• RQ3 3つ以上のトリボナッチ数の積の和を表す線形結合の構造はいかなるものか？
• RQ4 対称的公式および根の性質から、高次元トリボナッチ系列の正規化定数と初期値を明示的に計算できるか？

主な発見

• n=2 の場合、畳み込み恒等式により $s_{5,0}^{(2)} = 6$, $s_{5,1}^{(2)} = -6$, $s_{5,2}^{(2)} = 19$, および $A_5^{(2)} = 22^2$ が得られ、系列 $T_k^{(6,-6,19)}$ が生成される。
• n=3 の場合、係数は $s_{5,0}^{(3)} = -61$, $s_{5,1}^{(3)} = -75$, $s_{5,2}^{(3)} = 163$ であり、$A_5^{(3)} = -22^3 \cdot 2$ で、系列 $T_k^{(-61,-75,163)}$ が得られる。
• n=4 の場合、値は $s_{5,0}^{(4)} = -140$, $s_{5,1}^{(4)} = -425$, $s_{5,2}^{(4)} = 1098$ であり、$A_5^{(4)} = 22^4 \cdot 2$ で、$T_k^{(-140,-425,1098)}$ が定義される。
• n=5 の場合、系列は $T_k^{(-1189,-2567,6318)}$ で、$A_5^{(5)} = -22^5 \cdot 2$ であり、$s_{5,0}^{(5)} = -1189$, $s_{5,1}^{(5)} = -2567$, $s_{5,2}^{(5)} = 6318$ から導出される。
• n=6 の場合、正規化定数は $A_5^{(6)} = 22^6 \cdot 2^2$ で、$s_{5,0}^{(6)} = -13019$, $s_{5,1}^{(6)} = -30411$, $s_{5,2}^{(6)} = 75841$ であり、$T_k^{(-13019,-30411,75841)}$ が得られる。
• n=1 の場合、恒等式 $\sum_{k=0}^\infty T_k^{(3,1,3)} \frac{x^k}{k!} = -22 \left( c_2c_3 + c_3c_1 + c_1c_2 \right)^{-1} (e^{\alpha x} + e^{\beta x} + e^{\gamma x})$ が確立され、$c_i$ は根から導かれる。