[論文レビュー] Convolution symmetries of integrable hierarchies, matrix models and τ-functions

J. Harnad, A. Yu. Orlov|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、KPおよび2KP-Toda型の可積分階層に作用する畳み込み対称性を導入する。これらはヒルベルト空間およびフェルミオン的フォック空間への対角的作用を通じてτ関数を変換する。主な結果として、これらの対称性を行列モデル積分に適用すると、新たな外部結合行列モデルが得られ、その分配関数もτ関数である。さらに、コーシー＝リトルウッドおよびアンドレージェー恒等式を用いて、明示的な多重積分および有限行列式表現が導出される。

ABSTRACT

Generalized convolution symmetries of integrable hierarchies of KP and 2KP-Toda type multiply the Fourier coefficients of the elements of the Hilbert space $\HH= L^2(S^1)$ by a specified sequence of constants. This induces a corresponding transformation on the Hilbert space Grassmannian $\Gr_{\HH_+}(\HH)$ and hence on the Sato-Segal-Wilson τ-functions determining solutions to the KP and 2-Toda hierarchies. The corresponding action on the associated fermionic Fock space is also diagonal in the standard orthonormal base determined by occupation sites and labeled by partitions. The Plücker coordinates of the element element $W \in \Gr_{\HH_+}(\HH)$ defining the initial point of these commuting flows are the coefficients in the single and double Schur function of the associated τfunction, and are therefore multiplied by the corresponding diagonal factors under this action. Applying such transformations to matrix integrals, we obtain new matrix models of externally coupled type that are hence also KP or 2KP-Toda τ-functions. More general multiple integral representations of τfunctions are similarly obtained, as well as finite determinantal expressions for them.

研究の動機と目的

• KPおよび2KP-Toda階層のτ関数に作用する畳み込み対称性を特定・特徴づける。
• これらの対称性がヒルベルト空間L²(S¹)およびフェルミオン的フォック空間に対角的に作用し、グラスマン数の構造を保存することを示す。
• 標準的な行列モデル積分にこれらの対称性を適用することで、分配関数がτ関数である新たな外部結合行列モデルが得られることを示す。
• コーシー＝リトルウッドおよびアンドレージェー恒等式を用いて、変換されたτ関数の明示的な多重積分および有限行列式表現を導出する。
• 変換された分配関数が2KP-Toda階層のヒロタ双線形方程式を満たすことを確立する。

提案手法

• 対称性は無限列の非ゼロ定数{r_i}、{~r_i}によって定義され、τ関数展開におけるシュール関数係数に乗法的因子r_λ(N)および~r_μ(N)を導入する。
• 変換はフェルミオン的フォック空間の標準正規直交基底への対角的作用として実現され、プレイカー座標はこれらの固有値によって変換される。
• Sato-Segal-Wilson枠組みを用いて、τ関数を無限次元グラスマン多様体の要素と解釈し、プレイカー座標π_N(λ)およびB_N(λ,μ)を同様に変換する。
• 流れ変数t_iおよび~t_iにおける指数型生成関数を用いて、曲線ΓおよびḠ上の測度dμ(x,y)による多重積分表現を構成する。
• 指数型生成関数をtおよび~t変数におけるシュール関数の積に分解するために、2回のコーシー＝リトルウッド恒等式を適用する。
• 有限行列式形式はアンドレージェー恒等式を用いて導出され、変換されたτ関数がカーネル積分G_ij(ρ,~ρ,A,B)のN×N行列式として表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 畳み込み対称性はヒルベルト空間L²(S¹)およびKP階層の関連するグラスマン多様体にどのように作用するか？
• RQ2 これらの対称性はτ関数のグラスマン多様体像のプレイカー座標にどのような影響を与えるか？
• RQ3 これらの対称性を行列モデル積分に適用して、新たなτ関数の分配関数を生成できるか？
• RQ4 これらの対称性を2KP-Toda τ関数に適用した際に生じる多重積分および行列式表現は何か？
• RQ5 得られた分配関数は2KP-Toda階層のヒロタ双線形方程式をどのように満たすか？

主な発見

• 畳み込み対称性をτ関数に適用すると、シュール関数係数がr_λ(N)および~r_μ(N)に乗算される新しいτ関数が得られ、これらはヤング図形の要素に関する積で定義される。
• 2KP-Toda階層の変換されたτ関数は、測度dμ(x_a,y_a)および行列式Δ(X)、Δ(Y)を含む多重積分表現を有し、t_iおよび~t_iにおける生成関数を備える。
• 得られたτ関数は、カーネルG_ij(ρ,~ρ,A,B) = ∫∫ dμ(x,y) ρ_+(a_j x) ~ρ_+(b_j y) のN×N行列式として有限行列式形式で表現され、収束性および定義の明確さが保証される。
• ガウス測度および指数関数的ρ_+, ~ρ_+の下では、分配関数はイツィクソン＝ツイバーの2行列モデルのゲージ同値形に簡略化され、そのτ関数性が確認される。
• コーシー＝リトルウッド恒等式により、指数型生成関数がtおよび~t変数におけるシュール関数の積に分解され、多重積分表現を導出する上で不可欠である。
• アンドレージェー恒等式を用いて、2つの行列式の積を1つのN×N行列式に還元し、変換されたτ関数の有限行列式表現が得られる。