[論文レビュー] Convolutional codes from units in matrix and group rings

Ted Hurley|ArXiv.org|Nov 22, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、行列環および群環上のローレンツ級数における単位を用いて、所望の自由距離を持つコンvolution型符号を構成する新しい代数的技法を提示する。特に、群環を行列環として埋め込むことで、自由距離が事前に指定可能な符号の体系的構成が可能になる。主な貢献は、自由距離が明示的に計算可能な、二進(2,1)符号、ハミング型符号、および高レート符号といったコンvolution型符号を、コンピュータ支援探索手法の限界を克服して体系的に構成する代数的フレームワークを提供することにある。

ABSTRACT

A general method for constructing convolutional codes from units in Laurent series over matrix rings is presented. Using group ring as matrix rings, this forms a basis for in-depth exploration of convolutional codes from group ring encoding, wherein the ring in the group ring is itself a group ring. The method is used to algebraically construct series of convolutional codes. Algebraic methods are used to compute free distances and to construct convolutional codes to prescribed distances.

研究の動機と目的

• コンvolution型符号を体系的に構成する代数的技法の不足、特にコンピュータ探索によって得られる短記憶符号にとどまらない枠組みの確立。
• 群環を行列環に埋め込むことで、ユニットから導かれるコンvolution型符号の構成を拡張し、再帰的符号化構造を可能にする。
• 群環におけるユニット、ゼロ因子、イデムポテン要素の代数的性質を用いて、保証された最小自由距離を持つコンvolution型符号を統一的に生成するフレームワークの提供。
• 群環の基本環を自身が群環であるようにすることで、階層的な符号生成を可能にする、既存の構成の一般化。
• 代数的手法により、自由距離が予測可能かつ制御可能な高レートおよびハミング型コンvolution型符号の設計を可能にする。

提案手法

• 行列環 $ R $ が群環 $ FG $ から導かれるとき、$ R[z,z^{-1}] $ を用いてコンvolution型符号を構成する。
• 同型 $ R[z,z^{-1}] \cong RC_{\infty} $ を利用し、正則表現による群環の行列環への埋め込みにより、エンコーダ行列を生成する。
• 群環 $ (FC_2)C_{\infty} $ のユニットを用いて二進 $ (2,1) $ コンvolution型符号を構成し、自由距離を代数的に計算する。
• 線形循環符号の生成多項式を模倣する原理を $ RC_{\infty} $ に適用し、自由距離が $ d+2 $ である $ (2,1) $ コンvolution型符号を構成する。ここで $ d $ は循環符号およびその双対符号の最小距離である。
• 群 $ G $ の位数が特性 $ p $ で割り切れるとき、群環 $ FG $ の冪零元を用いて、特性 $ p $ の体上での符号を構成する。
• 体の特性が群の位数で割り切れない場合、群環におけるイデムポテン要素および特徴指標を用いて、所望の距離特性を持つ体系的コンvolution型符号を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンピュータ探索に依存せず、ユニットを含む代数的構造（群環）を用いて、コンvolution型符号を体系的に構成できるか？
• RQ2 群環の性質およびその行列表現を用いて、コンvolution型符号の自由距離を代数的にどのように計算できるか？
• RQ3 既知の循環符号から、所望の最小自由距離（例：$ d+2 $）を持つ符号を構成できるか？
• RQ4 イデムポテン要素、特徴指標、冪零元は、任意の素数特性の体上でのコンvolution型符号の構成において、それぞれどのような役割を果たすか？
• RQ5 自由距離が保証されたハミング型コンvolution型符号を代数的に構成可能か？また、古典的ハミング符号と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 群環 $ (\mathbb{F}_2 C_2)C_\infty $ を用いて、自由距離を代数的に計算した二進 $ (2,1) $ コンvolution型符号の系列が構成された。
• 任意の線形循環符号 $ \mathcal{C} $ について、最小距離が $ d_1 $、双対符号の最小距離が $ d_2 $ であるとき、自由距離が $ d+2 $ 以上である $ (2,1) $ コンボリューション型符号が構成された。ここで $ d = \min(d_1, d_2) $ である。
• $ \mathbb{Z}_2 C_{16} $ において $ u^8 = 1 $ を用い、ランク4の行列による距離寄与を活用することで、記憶量 $ \delta = 6 $ の $ (8,4,9) $ 二進コンボリューション型符号を明示的に構成した。
• $ \mathbb{Z}_2 C_{16} $ を用いて $ (16,12,9) $ コンボリューション型符号が構成可能であると予想されたが、詳細は計算されなかった。
• 群環 $ \mathbb{Z}_2(C_4 \times C_2) $ を用いて、自由距離10のハミング型 $ (8,4) $ コンボリューション型符号を構成した。生成行列は $ G(z) = (I,B) + (I,A)z + (I,B)z^2 $ である。
• 定理14.1は、$ RC_{\infty} $ において循環符号の生成多項式を模倣することで、自由距離が $ d+8 $ 以上であるコンボリューション型符号が得られることを証明している。ここで $ d $ は循環符号およびその双対符号の最小距離である。