[論文レビュー] Cooking String-Integer Conversions with Noodles

Havlena, Vojtěch, Holík, Lukáš+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

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ひとこと要約

この論文は、文字列方程式、文字列長に関する線形算術、および文字列から整数への変換を組み合わせた一階多 sorted 量化子なし理論における充足可能性問題が、決定不能であることを証明している。著者らは、これを累乗算術への還元によって確立し、文字列-整数変換述語が文字列方程式と長さ関数のみを用いて表現可能であることを示した（逆も同様）。さらに、理論の関数および述語について一貫性があり非完全な公理化を提示している。

ABSTRACT

We propose a method for efficient handling string constraints with string-integer conversions. It extends the recently introduced stabilization-based procedure for solving string (dis)equations with regular and length constraints. Our approach is to translate the conversions into a linear integer arithmetic formula, together with regular constraints and word equations. We have integrated it into the string solver Z3-Noodler, and our experiments show that it is competitive and on some established benchmarks even several orders of magnitude faster than the state of the art.

研究の動機と目的

• 文字列方程式、長さに関する線形算術、および文字列-整数変換を組み合わせたコア理論の決定性の状態を特定すること。
• 文字列-数値変換述語が、文字列方程式と長さ関数のみを用いて表現可能かどうかを調査すること。
• 理論について一貫性があり有限な公理化を提示し、その完全性を評価すること。

提案手法

• Ts,n の決定不能性を示すために、累乗算術（z = x * 2^y を表す述語を備えた理論）への還元を実施。
• 累乗述語 π を、numstr 述語、文字列方程式、長さ関数のみを用いて表現する符号化の構築。
• 逆に、numstr も π、文字列方程式、長さ関数を用いて表現可能であることを示す二重符号化により、相互に表現可能であることを確立。
• Ts,n の関数および述語について、有限で一貫性のある公理化 Γ の形式的定式化。
• Γ の論理的閉包として理論 TΓ を構築し、TΓ が完全でないことを証明。
• 還元の基礎として、単語方程式および Makanin のアルゴリズムに関する既知の結果を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文字列方程式、長さに関する線形算術、および文字列-整数変換を組み合わせた量化子なし理論 Ts,n の充足可能性問題は、決定可能か、決定不能か？
• RQ2 文字列-数値変換述語（numstr）は、文字列方程式と長さ関数のみを用いて表現可能か？
• RQ3 累乗述語 z = x * 2^y が、文字列方程式と長さ関数を用いて表現可能であることは、numstr が同じ断片において表現可能であることと同値であるか？
• RQ4 Ts,n の関数および述語について、一貫性があり有限な公理化は何か？
• RQ5 この公理化の論理的閉包として得られる一階で完全に量化された理論 TΓ は完全か？

主な発見

• Ts,n の充足可能性問題は決定不能である。これは、形式的検証および論理分野における長年の未解決問題を解決する。
• 文字列-整数変換述語 numstr は、文字列方程式、長さ関数、および累乗述語のみを用いて表現可能である。
• 累乗述語 z = x * 2^y は、文字列方程式、長さ関数、および numstr を用いて表現可能であり、双方向の表現可能性の同値性が確立された。
• Ts,n の関数および述語について、一貫性があり有限な公理化 Γ が構築された。
• Γ の論理的閉包として得られる理論 TΓ は完全でない。これは、Γ に独立する文が存在することを意味する。
• 結果から、Ts,n の表現力は当初想定されたよりも著しく高く、特に文字列-整数変換と算術の相互作用に起因する。