[論文レビュー] Copula-based Hierarchical Aggregation of Correlated Risks. The behaviour of the diversification benefit in Gaussian and Lognormal Trees

Jean-Philippe Bruneton|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2011

Risk and Portfolio Optimization被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ガウス分布および対数正規分布の木構造を用いて相関リスクをモデル化するためのコプーラベースの階層的集約フレームワークを提案する。ガウス木構造において、分散低減効果を解析的に導出しており、『スリム』な木（高さが大きい）は『太い』木（浅く広がった構造）よりも一貫して優れていることが示されている。これは、有効な相関が自然に低下する現象に起因し、より現実的な対数正規モデルにおいても同様の傾向が成立する。

ABSTRACT

The benefits of diversifying risks are difficult to estimate quantitatively because of the uncertainties in the dependence structure between the risks. Also, the modelling of multidimensional dependencies is a non-trivial task. This paper focuses on one such technique for portfolio aggregation, namely the aggregation of risks within trees, where dependencies are set at each step of the aggregation with the help of some copulas. We define rigorously this procedure and then study extensively the Gaussian Tree of quite arbitrary size and shape, where individual risks are normal, and where the Gaussian copula is used. We derive exact analytical results for the diversification benefit of the Gaussian tree as a function of its shape and of the dependency parameters. Such a "toy-model" of an aggregation tree enables one to understand the basic phenomena's at play while aggregating risks in this way. In particular, it is shown that, for a fixed number of individual risks, "thin" trees diversify better than "fat" trees. Related to this, it is shown that hierarchical trees have the natural tendency to lower the overall dependency with respect to the dependency parameter chosen at each step of the aggregation. We also show that these results hold in more general cases outside the gaussian world, and apply notably to more realistic portfolios (LogNormal trees). We believe that any insurer or reinsurer using such a tool should be aware of these systematic effects, and that this awareness should strongly call for designing trees that adequately fit the business. We finally address the issue of specifying the full joint distribution between the risks. We show that the hierarchical mechanism does not require nor specify the joint distribution, but that the latter can be determined exactly (in the Gaussian case) by adding conditional independence hypotheses between the risks and their sums.

研究の動機と目的

• 相関リスクのコプーラベースの階層的集約を、木構造のポートフォリオに対して厳密に形式化すること。
• ガウス木構造における分散低減効果を、木のトポロジーと依存パラメータの関数として定量化すること。
• 階層的集約における構造的要因が、全体のポートフォリオの依存性を体系的に低減するかどうかを調査すること。
• ガウスモデルからの知見を、より現実的な対数正規リスクモデルへと拡張すること。
• 条件付き独立性仮定のもとで、階層的コプーラ構造から完全な同時分布を再構成できるかどうかを明確にすること。

提案手法

• 上位から下位への木の分解を用いて階層的集約を定義し、各段階でコプーラを用いて部分ポートフォリオ間の依存性をモデル化する。
• 各集約段階でガウスコプーラを用いて部分ポートフォリオ間の依存性をモデル化し、周辺分布には正規分布または対数正規分布を仮定する。
• 条件付き独立性仮定を適用して、ガウス木構造における完全な同時分布の明確な表現を導出する。
• 再帰的共分散分解を用いて、木構造における葉同士の共通収束経路に基づく有効相関を計算する。
• 木の各段階を再帰的にたどる分散伝播を用いて、合計分散および分散低減効果の解析的公式を導出する。
• 非正規周辺分布を用いた同じ階層的コプーラ機構を対数正規木構造に適用することで、結果の妥当性を検証し、構造的効果の頑健性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階層的集約木のトポロジー（例：深さ対幅）が、相関リスクが存在する状況での分散低減効果にどのように影響するか。
• RQ2 直接集約と比較して、コプーラを用いた階層的集約が、個々のリスク間の有効依存性をどの程度低減するか。
• RQ3 ガウス木構造における分散低減効果はコプーラパラメータの選択に依存するか。また、木構造の形状によってその依存性はどのように変化するか。
• RQ4 条件付き独立性仮定のもとで、階層的コプーラ集約からリスクの完全な同時分布を再構成できるか。
• RQ5 ガウス木構造で観察された構造的効果（例：『スリム』な木で有効依存性が低下）は、より現実的な対数正規リスクモデルでも成立するか。

主な発見

• 個々のリスク数が固定されている場合、『スリム』な木（高さが大きく、分岐数が少ない）は、常に『太い』木（浅く分岐数が多い構造）よりも高い分散低減効果を達成する。
• ガウスコプーラを用いた階層的集約は、各段階で同じコプーラパラメータを使用しても、木の再帰的構造のおかげで、リスク間の有効依存性が自然に低減される。
• ガウス木構造における分散低減効果は解析的に取り扱えるものであり、木の形状とコプーラ相関パラメータに明示的に依存し、合計分散およびリスク指標の閉形式表現が導出されている。
• 同じ構造的傾向（『スリム』な木が『太い』木を上回る）は、対数正規木構造でも成立しており、これは正規性に依存する現象ではなく、階層的コプーラ集約の一般的特徴であることが示唆される。
• 条件付き独立性仮定のもとで、ガウス木構造におけるリスクの完全な同時分布は、階層的コプーラ構造と周辺分布から正確に再構成可能である。
• 木構造における2つの葉間の有効相関は、そのパスが初めて共通化するレベルにのみ依存し、この依存性に対して再帰的公式が導出されている。