[論文レビュー] Copulas: compatibility and Fréchet classes

Fabrizio Durante, Erich Peter Klement+1 more|ArXiv.org|Nov 15, 2007

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、3つの2変量コプールが共通の3変量コプールの対辺マージンとして成立するための必要十分条件を確立する。また、コプールベースの畳み込み演算を用いた新規構成法を導入し、3変量コプールのフレチェットクラスに対するより良い上限と下限を導出する。既存の文献における境界を、コプール理論に基づいたよりタイトで直感的な表現に改善する。

ABSTRACT

We determine under which conditions three bivariate copulas are compatible, viz. they are the bivariate marginals of the same trivariate copula, and, then, construct the class of these copulas. In particular, the upper and lower bounds for this class of trivariate copulas are determined.

研究の動機と目的

• 3つの2変量コプールが共通の3変量コプールの対辺マージンであるための必要十分条件を特定すること。
• 指定された2変量コプールをマージンとして持つ3変量コプールの完全なクラス、いわゆるフレチェットクラスを構築すること。
• コプールベースの畳み込み演算を用いて、既存の境界を改善し、よりタイトな上限と下限を導出すること。
• 先行研究の手法を上回る、構成的で直感的なフレームワークを提供し、互換性およびフレチェットクラスの特徴付けを強化すること。

提案手法

• 本稿は、下位および上位のフレチェット境界 $W_2$ および $M_2$ に基づく、$\star_{W_2}$ および $\star_{M_2}$ の2つの演算子を用いたコプール畳み込みの概念を用いる。
• 2変量コプール $C_{ij}$ と $C_{jk}$ の畳み込みを通じて、$C_{ik}$ の選択に依存するパrameter化されたコプールの族を新たな3変量コプールのクラスとして定義する。
• 上界と下界は、$C_U(\mathbf{u}) \leq (C_{ij} \star_{M_2} C_{jk})(u_i,u_j,u_k) + C_{ik}(u_i,u_k) - (C_{ij} \ast_{M_2} C_{jk})(u_i,u_k)$ および $C_L(\mathbf{u}) \geq (C_{ij} \star_{W_2} C_{jk})(u_i,u_j,u_k) + C_{ik}(u_i,u_k) - (C_{ij} \ast_{W_2} C_{jk})(u_i,u_k)$ という式を用いて構築される。
• コプールの $n$-増加性および生存コプール変換を用いて、境界が有効なコプールの性質を保証する。
• スクラーの定理および連続な多変量分布におけるコプール表現の一意性を活用し、一般性と適用可能性を保証する。
• 導出された境界がジョー（1997）の古典的フレチェット境界 $F_U$ および $F_L$ を上回ることを示し、一般には厳密に優位である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた3つの2変量コプール $C_{12}$, $C_{13}$, および $C_{23}$ が共通の3変量コプール $\widetilde{C}$ の対辺マージンであるための条件は何か？
• RQ2 指定された2変量コプールをマージンとして持つ3変量コプールの完全なクラスとは何か？ そして、そのクラスはどのように特徴付けられるか？
• RQ3 本稿で得られたフレチェットクラスの境界は、ジョー（1997）が提唱した古典的境界 $F_U$ および $F_L$ とどのように比較されるか？
• RQ4 提案された畳み込みに基づく構成法は、既存の手法と比較してよりタイトで解釈性の高い境界を生み出せるか？

主な発見

• 本稿は、3つの2変量コプール $C_{12}$, $C_{13}$, および $C_{23}$ が、それらが共通の3変量コプールのマージンであるための必要十分条件が、導出された下界 $C_L$ と上界 $C_U$ がすべての $\mathbf{u} \in [0,1]^3$ に対して $C_L(\mathbf{u}) \leq C_U(\mathbf{u})$ を満たすことにかかっていることを確立する。これにより、これらのマージンを持つ3変量コプールの存在が保証される。
• 上界 $C_U$ は $C_U(\mathbf{u}) \leq (C_{ij} \star_{M_2} C_{jk})(u_i,u_j,u_k) + C_{ik}(u_i,u_k) - (C_{ij} \ast_{M_2} C_{jk})(u_i,u_k)$ で与えられ、下界 $C_L$ は $C_L(\mathbf{u}) \geq (C_{ij} \star_{W_2} C_{jk})(u_i,u_j,u_k) + C_{ik}(u_i,u_k) - (C_{ij} \ast_{W_2} C_{jk})(u_i,u_k)$ で与えられ、フレチェットクラスに対して知られている最もタイトな境界を形成する。
• 新しい境界 $C_L$ と $C_U$ は、ジョー（1997）の古典的境界 $F_L$ と $F_U$ を厳密に上回る。すべての $\mathbf{u} \in [0,1]^3$ に対して $C_L(\mathbf{u}) \geq F_L(\mathbf{u})$ および $C_U(\mathbf{u}) \leq F_U(\mathbf{u})$ が成り立つことから、タイトさが向上していることが示される。
• すべての2変量コプールが独立（$\Pi_2$）の場合、境界は $C_L(u_1,u_2,u_3) = \max\{u_1 W_2(u_2,u_3), u_2 W_2(u_1,u_3), u_3 W_2(u_1,u_2)\}$ および $C_U(u_1,u_2,u_3) = \min\{u_1 M_2(u_2,u_3), u_2 M_2(u_1,u_3), u_3 M_2(u_1,u_2)\}$ に簡略化され、ロドリゲス＝ララネアとウベダ＝フローレス（2004）の既知の結果と一致する。
• $C_L$ および $C_U$ が自身でコプールでない場合があることから、フレチェットクラスが一般に凸でないことが確認され、境界が常に有効なコプールによって達成されるわけではないことが示される。
• 提案された手法は、2変量マージンから3変量コプールを構成的かつ直感的に生成するフレームワークを提供し、先行研究の非構成的または精度に欠ける手法を凌駆する。