[論文レビュー] Copulas in three dimensions with prescribed correlations

Luc Devroye, Gérard Letac|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、k ≥ 1/2 に対して (0,1) 上の対称ベータ分布 β_{k,k} を持つ、同一分布に従う3つの確率変数の連関分布を用いて、任意の3次元相関行列を実現可能であることを証明している。主な貢献は、すべてのこのようなベータ分布が3-普遍的（3-universal）であることを示したことである。すなわち、3次元において任意の有効な相関構造を実現可能であり、確率積分変換を介して一様分布の3-普遍性を確立する。

ABSTRACT

Given an arbitrary three-dimensional correlation matrix, we prove that there exists a three-dimensional joint distribution for the random variable $(X,Y,Z)$ such that $X$,$Y$ and $Z$ are identically distributed with beta distribution $β_{k,k}(dx)$ on $(0,1)$ if $k\geq 1/2$. This implies that any correlation structure can be attained for three-dimensional copulas.

研究の動機と目的

• 任意の3次元相関行列が、固定された周辺分布を持つ同一分布に従う確率変数によって実現可能かどうかを特定すること。
• 3次元においてすべての可能な相関構造を実現可能な一様分布および関連する分布の普遍性を調査すること。
• 対称ベータ分布の実現可能な相関行列の集合を特定し、より広い単峰型分布のクラスへ拡張すること。
• 一様分布が3-普遍的であるかどうかという未解決の問題を解き、ベータ分布を用いた構成によりそれが成立することを示すこと。
• ガウス・コパラを用いて実現可能な相関行列の集合が、n ≥ 3 のとき、すべての有効な相関行列の集合の真部分集合であることを証明すること。

提案手法

• k ≥ 1/2 に対して、(0,1) 上の対称ベータ( k,k) 周辺分布を用いて (X,Y,Z) の連関分布を構築する。
• 確率積分変換を用いてベータ分布に従う変数を一様周辺分布に変換し、相関構造を保存する。
• 対称単峰型分布が一様分布のスケール混合として表現可能であるという事実を活用し、このクラスへの普遍性の拡張を図る。
• エルミート多項式展開とモーメント母関数を用いて、ガウス・コパラと変換された変数の相関構造との関係を関係づける。
• 標準正規分布に従う (X,Y,Z) に対して、(Φ(X),Φ(Y),Φ(Z)) の相関行列が、n ≥ 3 のとき、すべての有効な相関行列の集合の真部分集合に含まれることを証明する。
• 行列式の条件と三角法的恒等式を用いて、特定の相関行列（例：p = -1/2 の R_p）がガウス・コパラでは実現不可能であることを示し、R*₃ ⊂ R₃ の厳密包含を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 1/2 に対して、i.i.d. なベータ( k,k) 周辺分布を用いて、任意の3次元相関行列が連関分布によって実現可能か？
• RQ2 一様分布は3-普遍的か、すなわちコパラ構成によって任意の有効な相関行列を実現可能か？
• RQ3 3次元において、ガウス・コパラを用いて実現可能な相関行列の集合と、すべての有効な相関行列の集合との関係は何か？
• RQ4 なぜ標準ガウス・コパラ手法では、n ≥ 3 のときすべての可能な相関行列を実現できないのか？
• RQ5 対称単峰型分布は3-普遍的か？ もしそうならば、表現定理を用いてどのように証明できるか？

主な発見

• 単位対角成分および非負の主小行列式を持つ任意の3次元相関行列 R は、k ≥ 1/2 に対して i.i.d. なベータ( k,k) 周辺分布を持つ連関分布によって実現可能である。
• ガウス・コパラを用いて実現可能な相関行列の集合（R*₃）は、すべての有効な相関行列の集合（R₃）の**真部分集合**である。これは、p = -1/2 のとき R_p が R₃ には属するが R*₃ には属さないことを示すことによって証明された。
• 相関行列 R_p = [[1,p,p],[p,1,p],[p,p,1]] は、-1/2 ≤ p ≤ 1 のとき R₃ に属するが、2 sin(π/12) < -1/2 であるため、ガウス・コパラでは実現不可能である。
• R₃ に属する任意の相関行列 R に対して、i.i.d. なベータ( k,k) 周辺分布を持つ (X,Y,Z) の連関分布が存在し、それを実現可能である。これにより、すべてのこのようなベータ分布が3-普遍的であることが証明された。
• 一様分布は、k → ∞ のときのベータ( k,k) 分布の極限として得られ、弱収束において普遍性が保たれるため、3-普遍的である。
• 対称単峰型分布は3-普遍的である。なぜなら、これらは一様分布のスケール混合として表現可能であり、したがって普遍性の性質を継承するからである。