[論文レビュー] Core entropy of quadratic polymonials

Dzmitry Dudko, Dierk Schleicher|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ジュリア集合におけるα固定点とその符号反転との間を分離する前臨界点の増加率として、二次多項式の組み合わせ的コアエントロピーを定義する。コアエントロピーがパrameterおよび外部角度に関して連続であることを証明し、Tiozzoの予想（二進角度における最大値）を確認するとともに、Wolf Jungによる付録を通じて双有界性次元の連続性を確立する。

ABSTRACT

We give a combinatorial definition of "core entropy" for quadratic polynomials as the growth exponent of the number of certain precritical points in the Julia set (those that separate the $α$ fixed point from its negative). This notion extends known definitions that work in cases when the polynomial is postcritically finite or when the topology of the Julia set has good properties, and it applies to all quadratic polynomials in the Mandelbrot set. We prove that core entropy is continuous as a function of the complex parameter. In fact, we model the Julia set as an invariant quadratic lamination in the sense of Thurston: this depends on the external angle of a parameter in the boundary of the Mandelbrot set, and one can define core entropy directly from the angle in combinatorial terms. As such, core entropy is continuous as a function of the external angle. Moreover, we prove a conjecture of Giulio Tiozzo about local and global maxima of core entropy as a function of external angles: local maxima are exactly dyadic angles, and the unique global maximum within any wake occurs at the dyadic angle of lowest denominator. We also describe where local minima occur. An appendix by Wolf Jung relates different concepts of core entropy and biaccessibility dimension and thus shows that biaccessibility dimension is continuous as well.

研究の動機と目的

• ジュリア集合が経路的に連結でない、あるいは有限なHubbardツリーを持たない場合でも、マンデルブロ集合内のすべての二次多項式に対してコアエントロピーを定義すること。
• Postcritically finiteまたは局所的に連結でない場合に限らない、Thurstonによるコアエントロピー定義の拡張。
• コアエントロピーが複素パrameterおよび外部角度の関数として連続であることを証明すること。
• Tiozzoの予想（外部角度の観点から、コアエントロピーの局所的および大域的最大値の位置）を検証すること。
• Wolf Jungによる付録を通じて、コアエントロピーとの関連を介して双有界性次元の連続性を確立すること。

提案手法

• コアエントロピーを、ジュリア集合における弧 $[\alpha_c, -\alpha_c]$ 上の前臨界点の指数的増加率として、組み合わせ的に定義する。
• マンデルブロ集合の境界におけるパラメータの外部角度に基づいて、二次リソナランスを用いてジュリア集合をモデル化する。
• 円周上の角度二重写像を用いて、力学系と前臨界レイヤーパairsの増加を関連付ける。
• Yoccozの定理および特徴的葉の単調性に関する結果を用い、非再帰的パラメータへの連続性の拡張を実行する。
• 前臨界点の増加率を、公式 $\tilde{h}(c) = B_{\text{top}}(c) \cdot \log 2$ を用いて、ハウスドルフ次元と双有界性次元に結びつける。
• 双有界性パラメータによる近似と測度論的推定（例：$\mu_b \leq \lim n \cdot V(n) \cdot 2^{-bn}$）を用いて、双有界性次元を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コアエントロピーは、ジュリア集合が局所的に連結でない場合でも、マンデルブロ集合内のすべての二次多項式に対して、組み合わせ的に定義可能か？
• RQ2 コアエントロピーは複素パラメータ $c$ の関数として連続か？
• RQ3 Tiozzoの予想が正しく、コアエントロピーの局所的および大域的最大値が、二進外部角度に正確に位置するか？
• RQ4 コアエントロピーと双有界性次元の関係は何か？また、後者は連続か？
• RQ5 組み合わせ的定義されたコアエントロピーは、古典的なHubbardツリーに基づく定義を一般化するか？

主な発見

• コアエントロピーは、$\alpha_c$ と $-\alpha_c$ を分離する前臨界点の増加指数として、マンデルブロ集合内のすべての二次多項式に対して有効な組み合わせ的定義として定義される。
• コアエントロピーは、複素パラメータ $c$ および外部角度 $\vartheta$ の関数として連続である。
• コアエントロピーの局所的最大値は、二進角度に正確に現れ、任意のウェークにおける大域的最大値は、分母が最小の二進角度に位置する。
• 双有界性次元 $B_{\text{top}}(c)$ は、マンデルブロ集合 $\mathcal{M}$ 上で連続であり、関係式 $\tilde{h}(c) = B_{\text{top}}(c) \cdot \log 2$ を通じて示された。
• $T_c$ がコンパクトである限り、組み合わせ的に定義されたコアエントロピーは、古典的なHubbardツリーのエントロピー $h_{\text{top}}(T_c)$ と一致する。
• 証明により、すべての $c \in \mathcal{M}$ に対して $\tilde{h}(c) = B_{\text{top}}(c) \cdot \log 2$ が成り立つことが示され、以前の結果がマンデルブロ集合全体に一般化された。