[論文レビュー] Corepresentation theory of universal cosovereign Hopf algebras

Julien Bichon|ArXiv.org|Nov 4, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特性0の代数的に閉じた体上の普遍ココマホープ代数 $H(F)$ のコ表現理論を確立し、バニカのコンパクトな量子群に関する結果を一般化する。一般の $F$ に対して、$H(F)$ の余表現カテゴリは $H(q)$ のそれとモノイダル同値であり、単純な余表現は自由モノイド $\mathbb{N} * \mathbb{N}$ で添え字づけられ、融合則は一般化された積 $\odot$ に従う。これにより、表現の完全分類が得られ、非トレース的測度を備えた行列代数の量子自己同型群にも応用可能である。

ABSTRACT

We determine the corepresentation theory of universal cosovereign Hopf algebras, for generic matrices over an algebraically closed field of characteristic zero.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた特性0の体上の非コンパクトで一般の状況に、バニカのコンパクトな量子群のコ表現理論を一般化すること。
• 一般の行列 $F$ に対して、普遍ココマホープ代数 $H(F)$ の余表現カテゴリの構造を特定すること。
• $H(F)$ のすべての単純余表現を分類し、それらの融合則を記述すること。
• コ表現理論を、非トレース的測度を備えた行列代数の量子自己同型群の表現理論に応用すること。

提案手法

• $H(F)$ の普遍性を用いて、コ表現理論を $q$ が $q^2 - \operatorname{tr}(F)q + 1 = 0$ を満たす場合の $H(q)$ のコ表現理論に還元する。
• 正規化された $F$ に対して、$H(F)$ と $H(q)$ の余表現カテゴリのモノイダル同値性を確立する。
• $H(q)$ を自由積 $k[z,z^{-1}] * \mathcal{O}(SL_q(2))$ のホップ部分代数として実現し、既知の分類結果を活用する。
• バニカの融合積 $\odot$ を2生成子の自由代数上で用いて、単純余表現のテンソル積分解を記述する。
• $\operatorname{tr}(E) = \operatorname{tr}(F)$ かつ $\operatorname{tr}(E^{-1}) = \operatorname{tr}(F^{-1})$ であるとき、量子自己同型群 $A_{\text{aut}}(M_m(k), \operatorname{tr}_E)$ と $A_{\text{aut}}(M_n(k), \operatorname{tr}_F)$ の間にホップ＝ガロア系を構成する。
• $\operatorname{tr}(F) = \operatorname{tr}(F^{-1})$ かつ $q$ が二次方程式を満たすとき、$A_{\text{aut}}(M_n(k), \operatorname{tr}_F)$ が $\mathcal{O}(SO_{q^{1/2}}(3))$ とモノイダル同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H(F)$ のコ表現理論は、バニカのコンパクトな場合の結果を、代数的に閉じた特性0の体上の一般の非コンパクトな状況にどのように一般化するか？
• RQ2 $F$ が一般のとき、$H(F)$ の余表現カテゴリの構造は何か？
• RQ3 $H(F)$ の単純余表現はどのように添え字づけられ、それらの融合則は何か？
• RQ4 $H(F)$ の表現理論と、非トレース的測度を備えた行列代数の量子自己同型群の表現理論との関係は何か？
• RQ5 量子自己同型群 $A_{\text{aut}}(M_m(k), \operatorname{tr}_E)$ と $A_{\text{aut}}(M_n(k), \operatorname{tr}_F)$ の余表現カテゴリがモノイダル同値であるための条件は何か？

主な発見

• 正規化された $F$ に対して、$H(F)$ の余表現カテゴリは $q$ が $q^2 - \operatorname{tr}(F)q + 1 = 0$ を満たすとき、$H(q)$ のそれとモノイダル同値である。
• $F$ が一般（すなわち $q$ が3次以上の単位根でない）であるとき、$H(F)$ はコセミシンプルであり、単純余表現の完全分類が可能である。
• 各単純 $H(F)$-余表現は、一意に $x \in \mathbb{N} * \mathbb{N}$ に対して $U_x$ と同型である。ここで $U_e = k$、$U_\alpha = U$、$U_\beta = V = U^*$ である。
• 単純余表現のテンソル積は、$U_x \otimes U_y \cong \bigoplus_{\{a,b,g \in \mathbb{N} * \mathbb{N} \mid x = a g, y = \bar{g} b\}} U_{a b}$ を満たし、バニカの融合則を一般化する。
• $\operatorname{tr}(F) = \operatorname{tr}(F^{-1})$ かつ $q$ が一般であるとき、量子自己同型群 $A_{\text{aut}}(M_n(k), \operatorname{tr}_F)$ の余表現カテゴリは $\mathcal{O}(SO_{q^{1/2}}(3))$ とモノイダル同値である。
• $\operatorname{tr}(E) = \operatorname{tr}(F)$ かつ $\operatorname{tr}(E^{-1}) = \operatorname{tr}(F^{-1})$ であるとき、$A_{\text{aut}}(M_m(k), \operatorname{tr}_E)$ と $A_{\text{aut}}(M_n(k), \operatorname{tr}_F)$ の余表現カテゴリはモノイダル同値である。