[論文レビュー] Coresets Meet EDCS: Algorithms for Matching and Vertex Cover on Massive Graphs

Sepehr Assadi, MohammadHossein Bateni+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Stochastic Gradient Optimization Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダム化可能で合成可能なコアセットとエッジ次数制約付き部分グラフ（EDCS）を統合した包括的フレームワークを提案し、大規模グラフにおける最大マッチングおよび最小頂点被覆のための改善された近似アルゴリズムを実現する。本稿では、サブクアドレティックなメモリを用いた1パス、(1.5 + ε)-近似ストリーミングアルゴリズムと、1マシンあたりサブクアドレティックなメモリを用いた2ラウンドのMPCアルゴリズムを初めて提示し、2-近似の壁を著しく超える。このアプローチにより、O(log log n)ラウンドのMPCで(1+ε)-近似マッチングとO(1)-近似頂点被覆が可能となり、1マシンあたりO(n/polylog n)のメモリを用いる。

ABSTRACT

As massive graphs become more prevalent, there is a rapidly growing need for scalable algorithms that solve classical graph problems, such as maximum matching and minimum vertex cover, on large datasets. For massive inputs, several different computational models have been introduced, including the streaming model, the distributed communication model, and the massively parallel computation (MPC) model that is a common abstraction of MapReduce-style computation. In each model, algorithms are analyzed in terms of resources such as space used or rounds of communication needed, in addition to the more traditional approximation ratio. In this paper, we give a single unified approach that yields better approximation algorithms for matching and vertex cover in all these models. The highlights include: * The first one pass, significantly-better-than-2-approximation for matching in random arrival streams that uses subquadratic space, namely a $(1.5+ε)$-approximation streaming algorithm that uses $O(n^{1.5})$ space for constant $ε> 0$. * The first 2-round, better-than-2-approximation for matching in the MPC model that uses subquadratic space per machine, namely a $(1.5+ε)$-approximation algorithm with $O(\sqrt{mn} + n)$ memory per machine for constant $ε> 0$. By building on our unified approach, we further develop parallel algorithms in the MPC model that give a $(1 + ε)$-approximation to matching and an $O(1)$-approximation to vertex cover in only $O(\log\log{n})$ MPC rounds and $O(n/poly\log{(n)})$ memory per machine. These results settle multiple open questions posed in the recent paper of Czumaj~et.al. [STOC 2018].

研究の動機と目的

• 空間的および通信的制約の下で、大規模グラフにおける最大マッチングおよび最小頂点被覆のためのスケーラブルなアルゴリズムを設計するという課題に取り組む。
• 長年にわたり大規模グラフ処理における根本的な限界であった、ストリーミングおよびMPCモデルにおける2-近似の壁を打ち破る。
• ランダム化可能で合成可能なコアセットとEDCSという2つの異なる技術を統合し、効率的なリソース使用とより良い近似比を実現する1つのフレームワークを構築する。
• 特に、1マシンあたりサブ線形メモリで少数のラウンドで(1+ε)-近似マッチングとO(1)-近似頂点被覆を達成するという、MPCモデルにおける未解決問題を解決する。
• サンプリングおよび合成に対してロバストな一般化手法を開発し、大規模グラフにおける効率的な並列およびストリーミング計算を可能にする。

提案手法

• 大きなマッチングおよび小さな頂点被覆のためのスパarsな証明（sparse certificate）としてEDCSを活用し、サンプリングおよび合成の下でも構造的ロバスト性を示す。
• 頂点のk分割とマッチング構造に基づくレイヤー化を用いた、新たなランダム化可能で合成可能なコアセット構築法を導入し、ストリーミングおよびMPCモデルにおける効率的な近似を可能にする。
• 元のグラフにおける増幅パスが、ソース層とシンク層の間の頂点素性パスに対応するようにレイヤー化されたグラフ構造を構築し、層間の逐次的マッチングによりパス探索を可能にする。
• パス構築中に閾値ベースのバックトラッキング機構を適用し、誤検出を回避し、計算コストを制限しつつ、高確率で増幅パスを回復する。
• 従来のアルゴリズムにおける最大マッチングサブルーチンを、定理7によりO(1)-近似マッチングアルゴリズムに置き換えることで、O(log log n)ラウンドで効率的なMPC実装を可能にする。
• 再帰的コアセット合成とサンプリングを通じて、マシン間の負荷をバランスさせ、必要なラウンド数を削減することで、MPCにおける1マシンあたりのメモリ使用量を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つのアルゴリズムフレームワークが、サブクアドレティックなメモリを用いたストリーミングおよびMPCモデルで、2-近似を上回る最大マッチング近似を達成できるか？
• RQ2 EDCSが、ランダムサンプリングおよび合成の下でも、マッチングおよび頂点被覆のためのロバストなスパース証明として機能できるか？ これによりスケーラブルな近似が可能になるか？
• RQ3 エッジまたは頂点のサンプリング下でも近似保証を維持し、効率的なMPCおよびストリーミング計算を可能にするランダム化可能で合成可能なコアセットを設計可能か？
• RQ4 O(log log n)ラウンドにまでMPCのラウンド数を削減しつつ、1マシンあたりサブ線形メモリでマッチングに対して(1+ε)-近似、頂点被覆に対してO(1)-近似を維持できるか？
• RQ5 レイヤー化されたグラフにおける増幅パスの構造をどのように活用すれば、2-近似の壁を避ける効率的かつスケーラブルなアルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 本稿は、eO(n^1.5)のメモリを用いた1パス、(1.5 + ε)-近似ストリーミングアルゴリズムを初めて提示し、ランダム到着モデルにおいて2-近似の壁を破った。
• MPCモデルにおいては、1マシンあたりeO(√(mn) + n)のメモリを用いて2ラウンドで(1.5 + ε)-近似マッチングを達成し、従来の2-近似結果を著しく改善した。
• 本フレームワークにより、O(log log n)ラウンドのMPCで(1+ε)-近似最大マッチングとO(1)-近似頂点被覆が可能となり、Czumajら（STOC 2018）が提起した未解決問題を解決した。
• 著者らは、EDCSが大きなマッチングおよび小さな頂点被覆のためのロバストなスパース証明であることを証明し、ランダムサンプリングおよび合成の下でも構造的性質を維持することを示した。
• ランダム化頂点分割を用いたレイヤー化グラフ構造により、高確率で、|M| < (1−ε)·MM(G) のとき、少なくともMM(G) · ε^O(1/ε) 個の頂点素性増幅パスが層間にあることが保証される。
• 最大マッチングサブルーチンをO(1)-近似マッチングアルゴリズムに置き換えることで、近似品質を維持しつつ、MPCおよびストリーミングモデルにおけるスケーラビリティを効率的に実現した。