[論文レビュー] Corollaries on the fixpoint completion: studying the stable semantics by means of the Clark completion

Pascal Hitzler|ArXiv.org|Feb 9, 2004

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、安定モデル意味論におけるGelfond-Lifschitz作用素と論理プログラムの不動点完成の即時結果作用素との間の深い対応関係を確立する。この作用素レベルの同値性を活用することで、不動点および距離に基づく意味論に関する新たな結果が得られ、Gelfond-Lifschitz作用素がシグモイド活性化関数を備えた3層フィードフォワードニューラルネットワークによって一様に近似可能であることが示され、1階論理プログラムにおけるニューラル記号的統合が可能になる。

ABSTRACT

The fixpoint completion fix(P) of a normal logic program P is a program transformation such that the stable models of P are exactly the models of the Clark completion of fix(P). This is well-known and was studied by Dung and Kanchanasut (1989). The correspondence, however, goes much further: The Gelfond-Lifschitz operator of P coincides with the immediate consequence operator of fix(P), as shown by Wendt (2002), and even carries over to standard operators used for characterizing the well-founded and the Kripke-Kleene semantics. We will apply this knowledge to the study of the stable semantics, and this will allow us to almost effortlessly derive new results concerning fixed-point and metric-based semantics, and neural-symbolic integration.

研究の動機と目的

• 安定モデル意味論におけるGelfond-Lifschitz作用素と不動点完成の即時結果作用素との間の形式的対応関係を確立すること。
• クラーク完成に基づくサポートモデル意味論からの既知の結果を、作用素レベルの対応関係を用いて安定意味論およびWell-Founded意味論へと拡張すること。
• Gelfond-Lifschitz作用素が人工ニューラルネットワークによって近似可能であることを示すことにより、ニューラル記号的統合を可能にすること。
• カントール集合上の連続関数を用いた非単調意味論的作用素の近似の理論的枠組みを提供すること。
• Gelfond-Lifschitz作用素がカントール位相で連続であることで、その作用素が一様にニューラルネットワークによって近似可能であることを示すこと。

提案手法

• 正規論理プログラム P の不動点完成 fix(P) を、正のリテラルの完全な展開と、残存する正のリテラルを含む規則の破棄を実行する変換として定義する。
• P の Gelfond-Lifschitz作用素 GLP が、その不動点完成 fix(P) の即時結果作用素 T_fix(P) と一致することを示す。
• C（カントール集合）を用いて、解釈を実数単位区間へ埋め込む位相同相写像 ι: IP → C を用意し、位相的および連続性の性質を移す。
• Funahashi [19] の近似定理を活用し、カントール集合上の連続関数が、シグモイド活性化関数を備えた3層フィードフォワードニューラルネットワークによって一様に近似可能であることを示す。
• GLP がカントール位相で連続であれば、その作用素が、このようなネットワークによってカントール集合全体で一様に近似可能であることを証明する。
• 作用素の対応関係を応用し、Hölldobler らの研究で示された1ステップ作用素のニューラルネットワークによる符号化結果を、Gelfond-Lifschitz作用素へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定モデル意味論におけるGelfond-Lifschitz作用素は、不動点完成の即時結果作用素によって特徴付けられるか？
• RQ2 Gelfond-Lifschitz作用素がニューラルネットワークによって近似可能であるために必要な・十分な位相的条件（例：カントール位相における連続性）は何か？
• RQ3 クラーク完成に基づくサポートモデル意味論からの結果は、作用素の対応関係を通じて、どの程度安定モデル意味論へと転送可能か？
• RQ4 Gelfond-Lifschitz作用素は、シグモイド活性化関数を備えたフィードフォワードニューラルネットワークによって一様に近似可能か？
• RQ5 不動点完成フレームワークは、関数記号を含む1階論理プログラムにおけるニューラル記号的統合をどのように可能にするか？

主な発見

• 正規論理プログラム P の Gelfond-Lifschitz作用素 GLP は、その不動点完成 fix(P) の即時結果作用素 T_fix(P) と同一である。
• P の安定モデルは、ちょうど fix(P) のサポートモデル、すなわち fix(P) のクラーク完成のモデルに一致する。
• Gelfond-Lifschitz作用素 GLP がカントール位相で連続であれば、その作用素は、シグモイド活性化関数を備えた3層フィードフォワードニューラルネットワークによって一様に近似可能である。
• 連続性がなくても、GLP は任意に小さな誤差境界までほとんど至るところ（almost everywhere）で近似可能である。
• 作用素の対応関係により、サポートモデル意味論からの結果を最小限の努力で安定モデル意味論へと転送可能である。
• このフレームワークは、カントール集合への意味論的作用素の埋め込みと、それらのニューラルネットワークによる近似を通じて、関数記号を含む1階論理プログラムにおけるニューラル記号的統合を支援する。