[論文レビュー] Correct traction boundary conditions in the indeterminate couple stress model

Patrizio Neff, Ionel‐Dumitrel Ghiba+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2015

Elasticity and Material Modeling被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、不定なカップル応力モデルにおける長年の知られていた不整合性であるトレクション境界条件の問題を特定し、是正している。広く用いられているミンリン＝ティアステンの境界条件が不完全であることを示し、変分原理および表面発散定理を用いて一貫性のあるトレクション条件の完全な集合を厳密に導出し、エネルギー的共役性を保証するとともに、高次勾配弾性モデルにおける長年の曖昧さを解消する新しい完全なフレームワークを確立した。

ABSTRACT

In this paper we consider the Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin indeterminatecouple stress model. The main aim is to show that the traction boundary conditions were not yet completely deduced. As it turns out, and to our own surprise, restricting the boundary condition framework from the strain gradient models to the couple stress model does not reduce to Mindlin's set of accepted boundary conditions. We present therefore, for the first time the complete, consistent set of traction boundary conditions.

研究の動機と目的

• ミンリンとティアステンが定式化した不定なカップル応力モデルの古典的トレクション境界条件における根本的欠陥を特定すること。
• 高次勾配弾性における運動論的およびトレクション境界条件間のエネルギー的共役性の不整合を解消すること。
• 変分原理および表面発散定理を用いて、完全で一貫性があり、エネルギー的に共役なトレクション境界条件の集合を導出すること。
• カップル応力テンソルの物理的および数学的役割、特に最近の議論を呼ぶ文献で主張されているように、必ずしも反対称でないという点を明確にすること。
• マイクロおよびナノスケールの構造力学における不定なカップル応力モデルの応用のための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 仮想仕事の原理および表面発散定理を用いて、適切なエネルギー的共役性を保証する正しいトレクション境界条件を導出する。
• 境界面に対する法線および接線成分への変位勾配の分解を適用し、運動論的およびトレクション条件を独立に規定可能にする。
• ミンリン＝ティアステンの定式化に欠落していた項を同定する：$-\frac{1}{2}\nabla\left[\operatorname{anti}((1\!\!1-n\otimes n)\cdot\widetilde{m}\cdot n)\cdot(1\!\!1-n\otimes n)\right]:(1\!\!1-n\otimes n)$。この項はエネルギー的一致性に不可欠である。
• より一般化された第二階勾配弾性モデル（第三階モーメントテンソルを伴う）から導かれるトレクション条件と同等であることを示すことにより、新しい境界条件の妥当性を検証する。
• リーマン・クリヴォの記号および反対称化作用素（anti-作用素）を含むインデックス表記およびテンソル計算を用いて、曲率エネルギーおよび応力テンソルを厳密に表現する。
• 境界曲線 $\partial\Gamma$ の役割を分析し、不連続な境界面においてモーメントテンソルの反対称部にジャンプ条件を導入することで、非滑らかな境界面でも一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ不定なカップル応力モデルにおける古典的トレクション境界条件は、広く用いられているにもかかわらず物理的に不整合なのであろうか？
• RQ2 不定なカップル応力モデルにおける完全でエネルギー的に共役なトレクション境界条件の集合は何か？
• RQ3 正しい境界条件の定式化はミンリン＝ティアステンの定式化とどのように異なるのか？欠落していた項の物理的意味は何か？
• RQ4 新しいトレクション境界条件は、より一般化された第二階勾配弾性フレームワークから導出可能であろうか？
• RQ5 カップル応力テンソル $\widetilde{m}$ の真の性質は何か？なぜそれが必ずしも反対称でないのか？

主な発見

• ミンリンとティアステンが提唱した古典的トレクション境界条件は不完全であり、エネルギー的共役性を保証しない。これは、重要な表面項が欠落しているためである。
• 正しいトレクション境界条件には、境界面上の接平面に射影されたモーメントテンソルの反対称部の勾配を含む追加項が含まれており、この項が変位勾配に対して仕事を行う。
• 完全なトレクション条件の集合は2つの部分からなる：滑らかな境界 $\partial\Omega\setminus\overline{\Gamma}$ におけるベクトル的トレクション条件、および境界曲線 $\partial\Gamma$ におけるジャンプ条件であり、モーメント効果の連続性を保証する。
• 新しい境界条件は第二階勾配弾性の変分定式化と完全に整合しており、第三階モーメントテンソルを伴う定式化から導かれるものと一致する。
• カップル応力テンソル $\widetilde{m}$ は反対称である必要がなく、対称であってもよい。これは、最近の文献で主張されている「$\widetilde{m}$ は反対称でなければならない」という主張とは矛盾する。
• この導出により、最近の論文で「$\widetilde{m}$ は反対称でなければならない」と主張する議論の根拠が、不完全な境界条件フレームワークに起因していることが解明された。