[論文レビュー] Corrected entropy of high dimensional black holes

Tao Zhu, Ji-Rong Ren+1 more|ArXiv.org|Jun 23, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、半古典的近似を超えたトンネル化形式を用いて、高次元のシュワルツシルト黑洞および5次元ガウス＝ボンネット黑洞の補正エントロピーを導出する。両方の黑洞が、$ S_c = S + \alpha_1\ln S + \sum \frac{\alpha_i}{S^{i-1}} + \text{const} $ の普遍的形と整合する補正エントロピー式を示しており、時空次元および重力理論の間で深い普遍性を示唆している。補正項は、ホライズン面積の対数ではなく、半古典的エントロピー $ S $ の対数に依存する。

ABSTRACT

Using the corrected expression of Hawking temperature derived from the tunneling formalism beyond semiclassical approximation developed by \emph{Banerjee} and \emph{Majhi}\cite{beyond}, we calculate the corrected entropy of a high dimensional Schwarzschild black hole and a 5-dimensional Gauss-Bonnet (GB) black hole. It is shown that the corrected entropy for this two kinds of black hole are in agreement with the corrected entropy formula ( ef{entropy of apparent horiozn}) that derived from tunneling method for a $(n+1)$-dimensional Friedmann-Robertson-Walker (FRW) universe\cite{FRW}. This feature strongly suggests deep universality of the corrected entropy formula ( ef{entropy of apparent horiozn}), which may not depend on the dimensions of spacetime and gravity theories. In addition, the leading order correction of corrected entropy formula always appears as the logarithmic of the semiclassical entropy, rather than the logarithmic of the area of black hole horizon, this might imply that the logarithmic of the semiclassical entropy is more appropriate for quantum correction than the logarithmic of the area.

研究の動機と目的

• トンネル化形式を用いて導出されたフレドマン＝ロバートソン＝ウォーカー宇宙における補正エントロピー式が、高次元ブラックホールに対しても適用可能かどうかを調査すること。
• 補正エントロピー式 $ S_c = S + \alpha_1\ln S + \sum \frac{\alpha_i}{S^{i-1}} + \text{const} $ が高次元時空においても普遍的であるかを検証すること。
• 一次補正項がホライズン面積の対数 $ \ln A $ ではなく、半古典的エントロピー $ S $ の対数 $ \ln S $ に比例するかを特定すること。
• ガウス＝ボンネット重力などの非アインシュタイン重力理論において、高次元で補正エントロピー式が有効であるかを検討すること。

提案手法

• バナージェとマジュイが開発した半古典的近似を超えたトンネル化形式を用い、(n+1)次元シュワルツシルト黑洞および5次元ガウス＝ボンネット黑洞の補正ホーキング温度を導出する。
• 補正温度を用いて半古典的熱力学第一法則 $ dS_c = \frac{1}{T_c} \delta Q $ を適用し、補正エントロピーを計算する。
• 作用を $ \hbar $ のべき級数に展開し、時空の (r,t) 領域におけるハミルトニアン＝ヤコビ方程式を解き、トンネル確率および温度を抽出する。
• 微分形式 $ dS_c $ に対する可積分性条件を満たすことで、エントロピーが状態関数であることを保証し、温度展開における係数を固定する。
• 補正温度を $ T_c = T_H \left(1 + \sum_i \frac{\tilde{\alpha}_i}{S^{i}} \right)^{-1} $ の形で表現し、$ S $ における対数項および逆数項補正を伴う補正エントロピーを導出する。
• FRW宇宙の研究から得られた普遍的補正エントロピー式 (2) と整合することを検証し、低次元およびアインシュタイン重力にとどまらないブラックホールに対してもその適用可能性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FRW宇宙から導出された補正エントロピー式 $ S_c = S + \alpha_1\ln S + \sum \frac{\alpha_i}{S^{i-1}} + \text{const} $ は、高次元ブラックホールに対しても成立するか？
• RQ2 ブラックホールエントロピーの一次補正項は、ホライズン面積の対数 $ \ln A $ ではなく、半古典的エントロピーの対数 $ \ln S $ に比例するか？
• RQ3 補正エントロピー式は高次元時空およびガウス＝ボンネット重力などの非アインシュタイン重力理論においても有効であるか？
• RQ4 半古典的近似を超えたトンネル化形式は、高次元ブラックホールに対して一貫した状態関数としてのエントロピーを導出できるか？

主な発見

• (n+1)次元シュワルツシルトブラックホールの補正エントロピーは、$ S_c = S + \alpha_1\ln S + \sum_{i=2} \frac{\alpha_i}{1-i} \frac{1}{S^{i-1}} + \text{const} $ として得られ、普遍的式 (2) と一致する。
• 5次元ガウス＝ボンネットブラックホールに対しても、補正エントロピーは $ S_c = S_{\texttt{GB}} + \tilde{\alpha}_1\ln S_{\texttt{GB}} + \sum_{i=2} \frac{\tilde{\alpha}_i}{1-i} \frac{1}{S_{\texttt{GB}}^{i-1}} + \text{const} $ の形を取り、普遍的式との整合性が確認される。
• 一次補正項が $ \ln A $ ではなく $ \ln S $ に依存するため、$ \ln S $ が $ \ln A $ よりも量子補正の根本的な量である可能性を示唆する。
• 補正温度は $ T_c = T_H \left(1 + \sum_i \frac{\tilde{\alpha}_i}{S^i} \right)^{-1} $ として導出され、可積分性条件によりエントロピーが状態関数であることが保証される。
• 結果は、補正エントロピー式 (2) が異なる重力理論、時空次元、ブラックホールの種別（高次元および非アインシュタイン系）にわたって普遍的であることを支持する。
• 本研究は、補正エントロピー式が時空次元および基礎となる重力理論に依存しないことを確認し、深い物理的普遍性を示している。