[論文レビュー] Correcting quantum channels by measuring the environment

Patrick Hayden, Christopher King|ArXiv.org|Sep 3, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、環境測定を用いた量子チャネル補正を検討し、すべてのキュービット・チャネルが補正容量 log 2 を達成することを示しており、測定に基づく補正によって完全な情報回復が可能であることを示している。また、次元にかかわらずすべての量子チャネルが補正容量 log 2 以上を有することを証明し、環境モニタリングと適応的補正を用いたノイズの多いチャネルからの回復可能な情報の下限を定める根本的な境界を確立している。

ABSTRACT

The corrected capacity of a quantum channel is defined as the best one-shot capacity that can be obtained by measuring the environment and using the result to correct the output of the channel. It is shown that (i) all qubit channels have corrected capacity log 2, (ii) a product of N qubit channels has corrected capacity N log 2, and (iii) all channels have corrected capacity at least log 2. The question is posed of finding the channel with smallest corrected capacity in any dimension d.

研究の動機と目的

• 環境を測定し、条件付き補正を適用することで達成可能な最大の1回あたり容量として、量子チャネルの補正容量を定義・分析すること。
• もしそのチャネルに entanglement や結合処理が存在しない場合でも、環境測定がノイズの強い量子チャネルの性能を顕著に向上させられるかどうかを特定すること。
• 特に次元 d における最小の補正容量を特定することを含め、すべての量子チャネルにおける補正容量のタイトな境界を確立すること。
• 補正容量が回復可能な情報の指標としてどのような意味を持つのかを検討し、Holevo容量などの他の指標と対比すること。

提案手法

• 補正容量 $ C_{\text{corr}}(\Phi) $ を、すべてのKraus表現 $ \mathcal{A} \in \mathcal{K}(\Phi) $ および補正写像 $ \mathcal{R} $ に対して、補正されたチャネル $ \Phi_{\mathcal{A},\mathcal{R}} $ の1回あたりシャノン容量を最大化する上界として定義する。
• 任意のチャネルが、系と環境とのユニタリー相互作用から生じることを用い、Kraus作用素 $ A_k $ はユニタリー時間発展後の環境に関する部分トレースから得られることを示す。
• Walgate らのLOCC（局所操作と古典的通信）の結果を適用し、双対系における任意の2つの直交純状態は、局所測定によって完全に区別可能であることを用いる。
• 各作用素の1列目と2列目が直交するような特定のKraus表現を構築し、測定結果によって2つの直交入力状態を完全に区別可能にする。
• 行列 $ M(B) $（列内積を符号化する行列）のすべての対角成分がゼロになるように、Kraus作用素にユニタリー変換を施す。これにより、1列目と2列目の直交性が保証される。
• 任意のトレースがゼロの行列は、すべての対角成分をゼロにするユニタリー変換をもつという数学的事実を用い、$ M(A) $ にこれを適用することで、望ましいKraus表現を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子チャネルが引き起こすノイズは、環境を測定し条件付き補正を適用することで補正可能か？
• RQ2 与えられた量子チャネルに対して、環境測定と出力補正を用いて達成可能な最大の1回あたり容量は何か？
• RQ3 与えられた次元 d において、すべてのチャネルの中で最小の補正容量は何か？ また、どのチャネルがこの境界に達するか？
• RQ4 すべての量子チャネルに適用可能な普遍的な補正容量の下限は存在するか？
• RQ5 すべてのキュービット・チャネルは、環境測定と古典的フィードバックのみを用いて、完全な容量（log 2）に補正可能か？

主な発見

• すべてのキュービット・チャネルは、正確に $ \log 2 $ の補正容量を有しており、環境を測定し補正写像を適用することで、完全な1回あたり容量が達成可能であることを示している。
• N 個のキュービット・チャネルの積は、補正容量が $ N \log 2 $ であるため、独立したキュービット・チャネルにおいて補正容量が加法的であることが示された。
• 次元にかかわらず、すべての量子チャネルは補正容量が少なくとも $ \log 2 $ 以上であることが保証されており、普遍的な下限を確立している。
• 各作用素の1列目と2列目が直交するKraus表現の存在により、補正後に2つの直交入力状態を完全に区別可能であることが保証される。
• 任意のチャネルに対して、Kraus作用素に適切なユニタリー変換を施すことで、列内積行列の対角成分をすべてゼロにできる。これにより、列ペアの直交性が保証される。
• すべての次元において補正容量は $ \log 2 $ 以上で下界が保証されており、$ d > 2 $ における正確な最小補正容量 $ C_{\text{corr}}(d) $ は未解決のまま残っている。