[論文レビュー] Correction to: HZ-algebra spectra are differential graded algebras

Brooke Shipley|ArXiv.org|Aug 9, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この是正は、著者の2007年論文における関手 $ D $ が対称モノイダルであることを再確認し、定理1.2の元の証明を正当化する。この証明により、可換 $ H\mathbb{Q} $-代数スペクトラが $ \mathbb{Q} $ 上の可換微分小行列式代数（DGAs）と弱同値であることが示される。是正は、チェーン複体の余極限と空間のホモトピー余極限を混同していたことによる混乱を解消し、元の結果の正しさを確認するとともに、修正された関手 $ \overline{\Theta} $ を用いた非自然な弱同値を与える。

ABSTRACT

This correction article is actually unnecessary. The proof of Theorem 1.2, concerning commutative HQ-algebra spectra and commutative differential graded algebras, in the author's paper [American Journal of Mathematics vol. 129 (2007) 351-379 (arxiv:math/0209215v4)] is correct as originally stated. Neil Strickland carefully proved that D is symmetric monoidal; so Proposition 4.7 and hence also Theorem 1.2 hold as stated. Strickland's proof will appear in joint work with Stefan Schwede; see related work in Strickland's [arxiv:0810.1747]. Note here D is defined as a colimit of chain complexes; in contrast, non-symmetric monoidal functors analogous to D are defined as homotopy colimits of spaces in previous work of the author.

研究の動機と目的

• 定理1.2の元の証明における関手 $ D $ の対称モノイダル性に関する混乱を解消すること。
• 可換 $ H\mathbb{Q} $-代数スペクトラと可換微分小行列式代数（DGAs）の間の同値性に関する元の証明が正しいことを確認すること。
• 関手 $ D $ をチェーン複体の余極限（対称モノイダル）として定義するのと、空間のホモトピー余極限（非対称モノイダル）として定義するのを混同していたことが混乱の原因であったことの明確化。
• コボルントおよびファイブレント置換関手を用いて構成された修正された関手 $ \overline{\Theta} $ を用いた、代替的な非自然な弱同値の提示。
• 弱同値およびファイブレーションが基礎となるスペクトラ上で検出可能な、$ Sp^\Sigma(\mathcal{C}h_\mathbb{Q}) $ 内の可換モノイドのモデル圏構造の確立。

提案手法

• ニール・ストリクランドの証明が $ D $ が対称モノイダルであることを示しており、これにより定理1.2の元の議論が正当化されることを再確認する。
• チェーン複体の余極限として定義された関手 $ D $（対称モノイダル）と、初期にホモトピー空間の余極限として定義された $ D $（非対称モノイダル）を比較し、混乱の原因を解消する。
• 関手 $ \overline{\Theta} = \operatorname{Ev}_0 fi\phi^*NZc $ を用いて非自然な弱同値を構成する。ここで $ c $ と $ f $ はコボルントおよびファイブレント置換関手である。
• $ \operatorname{Ev}_0 $, $ i $, $ \phi^*N $, および $ Z $ の対称モノイダル性を用いて、合成関手 $ \overline{\Theta} $ が適切に振る舞うことを保証するが、$ c $ と $ f $ のため自然な対称モノイダル性は保証されない。
• [ScSh, 2.3] の昇降性質を用いて、$ Sp^\Sigma(\mathcal{C}h_\mathbb{Q}) $ 内の可換モノイドのモデル圏構造を構成する。自由可換モノイド関手 $ \mathbb{P} $ と生成コボルント $ I $, $ J $ を用いる。
• 補題4を用いて、$ \mathbb{P}(J) $-写像が安定同値であることを証明する。補題4は、軌道構成をホモトピー軌道に置き換えてもホモトピー型が変わらないことを示し、[Ma] のフィルトレーション論法を用いて押し出し安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定理1.2の証明において、チェーン複体の余極限として定義された関手 $ D $ は対称モノイダルか？
• RQ2 著者が当初 $ D $ のモノイダル性について混乱を示したが、それでもシップレーの2007年論文における定理1.2の元の証明は有効であるか？
• RQ3 任意の可換 $ H\mathbb{Q} $-代数スペクトラ $ C $ に対して、$ \overline{\Theta}C $ と可換微分小行列式 $ \mathbb{Q} $-代数の間で非自然な弱同値を構成できるか？
• RQ4 可換モノイドの圏 $ Sp^\Sigma(\mathcal{C}h_\mathbb{Q}) $ に、弱同値およびファイブレーションが基礎となるスペクトラ上で検出可能なモデル圏構造が存在するか？
• RQ5 集合 $ \mathbb{P}(J) $ 内の写像の押し出しは、安定同値およびレベルコボルントを保存するか？

主な発見

• 定理1.2の元の証明は正しい：ニール・ストリクランドの証明により $ D $ が対称モノイダルであることが確認され、したがって主結果は提示された通り成立する。
• 混乱の原因は、$ D $ をチェーン複体の余極限（対称モノイダル）として定義するのと、$ D $ を空間のホモトピー余極限（非対称モノイダル）として定義するのを混同していたことに起因する。この区別は今や明確にされた。
• 対称モノイダル関手とファイブレント置換を用いて $ \overline{\Theta}^\prime $ と $ \overline{\Theta}^{\prime\prime} $ を構成することで、$ \overline{\Theta}C $ と可換微分小行列式 $ \mathbb{Q} $-代数の間の非自然な弱同値が存在することが示された。
• 弱同値およびファイブレーションが基礎となるスペクトラ上で検出可能な、$ Sp^\Sigma(\mathcal{C}h_\mathbb{Q}) $ 内の可換モノイドのモデル圏構造は、[ScSh, 2.3] の昇降基準を用いて確立された。
• 補題5を用いて、フィルトレーション技法と補題4（軌道構成をホモトピー軌道に置き換え可能）を組み合わせることで、$ \mathbb{P}(J) $ 内の写像の押し出しは安定同値およびレベルコボルントを保存することが示された。
• 写像 $ E\Sigma_n \otimes_{\Sigma_n} X^{(n)} \to X^{(n)}/\Sigma_n $ はレベル同値であり、$ Y $ とのテンソル積への誘導写像に対しても同様にレベル同値である。これにより、対称群作用の下でのホモトピー不変性が保証される。