[論文レビュー] Correlation functions of $\mathrm{U}(N)$-tensor models and their Schwinger-Dyson equations

Romain Pascalie, Carlos I. Pérez-Sánchez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、境界グラフとウォード・タカハシ恒等式に基づく非摂動的枠組みを用いて、U(N)-テンソル模型における相関関数の正確な解析的シュヴィンガー＝ダイソン方程式（SDEs）を導出する。ランク-Dテンソル模型における連結境界グラフの完全な積分微分型SDEの塔を確立し、D=3およびD=4に対して明示的に解を求める。さらに、グルーア＝ウィッテンホログラフィックテンソル模型への拡張を提案する。

ABSTRACT

We analyse the correlation functions of $\mathrm{U}(N)$-tensor models (or complex tensor models), which turn out to be classified by boundary graphs, and use the Ward-Takahashi identity and the graph calculus developed in [Commun. Math. Phys. (2018) 358: 589] in order to derive the complete tower of exact, analytic Schwinger-Dyson equations for correlation functions with connected boundary graphs. We write them explicitly for ranks $D=3$ and $D=4$. Throughout, we follow a non-perturbative approach to Tensor (Group) Field Theories. We propose the extension of this program to the Gurau-Witten model, a holographic tensor model based on the Sachdev-Ye-Kitaev model (SYK model).

研究の動機と目的

• U(N)-テンソル模型における相関関数の完全な塔の正確で解析的なシュヴィンガー＝ダイソン方程式を導出すること。
• 幾何的整合性を保証し、源の干渉を回避するために、連結境界グラフによって相関関数を分類すること。
• ウォード・タカハシ恒等式とグラフ計算を用いて、テンソル場理論の非摂動的枠組みを確立すること。
• SYK模型にインspiredされたホログラフィックテンソル模型であるグルーア＝ウィッテン模型への形式の拡張をすること。
• ランク3およびランク4理論における2点関数および4点関数の明示的SDEを提供すること。

提案手法

• 連結境界グラフによって相関関数を分類し、それぞれが三角形分割された多様体境界に対応することを保証する。
• ウォード・タカハシ恒等式を適用して、相関関数の生成関数の関数的方程式を導出する。
• 先行研究のグラフ計算を用いて、ウォード恒等式からシュヴィンガー＝ダイソン方程式を体系的に導出する。
• ランク3およびランク4理論における2点関数および4点関数の明示的な積分微分型SDEを導出する。
• 源の2(k+1)次までの生成関数を用いて、2k点関数のSDEを解く。
• 類似の境界グラフ展開とSDE導出を用いて、グルーア＝ウィッテン模型への一般化を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(N)-テンソル模型において、シュヴィンガー＝ダイソン方程式を非摂動的かつ解析的にどのように導出できるか？
• RQ2 境界グラフは相関関数の分類および幾何的整合性の確保において果たす役割は何か？
• RQ3 ウォード・タカハシ恒等式とグラフ計算が、連結境界グラフの完全なSDEの塔をどのように共同で得るか？
• RQ4 ランク3およびランク4テンソル模型における2点関数および4点関数のSDEの明示的形は何か？
• RQ5 SDEフレームワークは、グルーア＝ウィッテン模型のようなホログラフィックテンソル模型へ拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、U(N)-テンソル模型における連結境界グラフによってインdeXされた相関関数の完全な塔の正確で解析的なシュヴィンガー＝ダイソン方程式を導出する。
• ランク3およびランク4理論における2点関数および4点関数の明示的SDEが得られ、4点関数は境界グラフセクターを通して表現される。
• 生成関数の関数導関数を含む積分微分方程式を導出することで、代数的SDEを回避する。
• ランク5理論では、連結境界グラフの生成関数（OEIS A057007）を用いて、2点関数SDEをO(J^3, J̄^3)項まで導出する。
• グルーア＝ウィッテン模型へのフレームワークの拡張がなされ、類似の境界グラフ展開を通じた可解性が示唆される。
• D=4におけるSDEは明示的に構成されているが、グラフの複雑さにより4点関数を超える導出は制限される。