[論文レビュー] Correlation functions of the shifted Schur measure

Sho Matsumoto|ArXiv.org|Dec 19, 2003

Random Matrices and Applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、厳密な分割上のシュールQ関数によって定義されるシフトされたシュール測度の相関関数を、外代数上の作用素を用いてプレファビアンとして導出し、オクノフのシュール測度に関する研究を一般化する。主な結果として、ランダムな置換における最長の上昇ペアの長さの極限分布が、トレーシー・ウィドム分布に従うことが示され、プランシュレ測度下での最長増加部分列に関する既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

The shifted Schur measure introduced by Tracy and Widom is a measure on the set of all strict partitions, which is defined by Schur $Q$-functions. The main aim of this paper is to calculate the correlation function of this measure, which is given by a pfaffian. As an application, we prove that a limit distribution of $λ_j$'s with respect to a shifted version of the Plancherel measure for symmetric groups is identical with the corresponding distribution of the original Plancherel measure. Further we give expressions of the mean value and the variance of the size of a partition with respect to the measure defined by Hall-Littlewood functions.

研究の動機と目的

• シュールQ関数によって定義される厳密な分割上の測度としてのシフトされたシュール測度の相関関数を計算すること。
• 対称群のプランシュレ測度に関する漸近的解析を、シフトされたシュール測度の枠組みへと拡張すること。
• ランダムな置換における最長上昇ペアの長さの極限分布を特定すること。
• ハル＝リトルウッド測度下でのサイズ|λ|の平均と分散の明示的表現を導出すること。

提案手法

• オクノフのシュール測度における無限ウェッジ法に類似した、外代数上の作用素を用いて相関関数を計算する。
• プレファビアン行列式を用いて、シフトされたシュール測度の相関関数を表現する。
• ポisson化技術を用いて、シフトされたプランシュレ測度下での行長さλ_jの極限分布を分析する。
• 指数的または主成分の特殊化を用いてハル＝リトルウッド測度を特殊化し、期待値と分散を計算する。
• p-ポッホハマー記号を含む、ピューレ和対称関数を用いた母関数を用いて、測度の正規化およびモーメントを分析する。
• E(λ₁)の漸近的挙動をM(t,X)と比較し、比E(λ₁)/M(t,X)が1に収束する条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シフトされたシュール測度の相関関数の関数的形は何か？ また、シュール測度の場合とはどのように異なるか？
• RQ2 ランダムな置換における最長上昇ペアの長さの極限分布は、トレーシー・ウィドム分布に従うか？
• RQ3 ハル＝リトルウッド測度において、比E(λ₁)/M(t,X)が1に収束する条件は何か？
• RQ4 ハル＝リトルウッド測度下で、|λ|の平均と分散をピューレ和対称関数の観点から明示的に表現できるか？
• RQ5 ハル＝リトルウッド測度のさまざまな特殊化において、E(λ₁)とM(t,X)の間には普遍的な漸近的関係が存在するか？

主な発見

• シフトされたシュール測度の相関関数はプレファビアンとして表現され、シュール測度の行列式に基づく関数とは一般化されている。
• シフトされたプランシュレ測度下でのλ_jの極限分布は、元のプランシュレ測度下のそれと同一であり、漸近的挙動における普遍性が確認された。
• ランダムな置換における最長上昇ペアの長さは、極限においてトレーシー・ウィドム分布F₂(s)に分布収束する。
• ハル＝リトルウッド測度において、E(|λ|)とVar(|λ|)はピューレ和関数の積の和として明示的に与えられる。
• いくつかの特殊ケース（例えば、ポisson化されたプランシュレ、α-特殊化）において、パrameterが無限大に近づくときlim E(λ₁)/M(t,X) = 1 が成り立つ。
• しかし、t→0における主成分特殊化では、比E(λ₁)/M(t,X)は1に収束せず、この収束が普遍的でないことが示された。