[論文レビュー] Correlation in fermion or boson systems as the minimum of entropy relative to all free states

Alex D. Gottlieb, Norbert J. Mauser|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

Quantum many-body systems参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多数のフェルミ粒子系およびボソン系における相関の厳密な尺度である「非自由度（nonfreeness）」を導入する。非自由度は、1体密度行列を共有する一意の自由状態に対する状態の相対エントロピーとして定義される。主な結果として、この非自由度がすべての自由状態における相対エントロピーの最小値であることが証明され、これは平均場モデルを超える相関を定量化するための最適な独立粒子近似であることが示された。

ABSTRACT

In the context of many-fermion systems, "correlation" refers to the inadequacy of an independent-particle model. Using "free" states as archetypes of our independent-particle model, we have proposed a measure of correlation that we called "nonfreeness" [Int. J. Quant. Inf. 5, 815 (2007)]. The nonfreeness of a many-fermion state was defined to be its entropy relative to the unique free state with the same 1-matrix. In this article, we prove that the nonfreeness of a state is the minimum of its entropy relative to all free states. We also extend the definition of nonfreeness to many-boson states and discuss a couple of examples.

研究の動機と目的

• 多数のフェルミオンおよびボソン系における相関の物理的に意味のある情報理論的尺度を定義し、独立粒子行動からの逸脱を定量化すること。
• 非自由度（状態Δと、Δと同一の1体密度行列を持つ自由状態ΓΔとの間の相対エントロピーS(Δ || ΓΔ)として定義される）が、すべての可能な自由状態の中で最小値をとることを確立すること。
• 非自由度の概念を混合状態およびボソン系に拡張し、相関の定量化を統一的フレームワークで行うこと。
• 状態の部分系への制限において非自由度が単調減少することを示し、部分系の非自由度が全体系の非自由度以下であることを示すこと。

提案手法

• 自由状態を、非相互作用粒子のグランドカノニカル・ギブス集合として定義し、相関のない行動の基準として用いる。
• 非自由度を、Δと同一の1体密度行列を持つ自由状態ΓΔに対する量子相対エントロピーS(Δ || ΓΔ)として導入する。
• 数学的にS(Δ || ΓΔ)がすべての自由状態の中で最小値をとることを証明し、ΓΔが最適な独立粒子近似であることを確立する。
• 非自由度の明示的公式を導出する：フェルミオンでは∑[−ni log ni − (1−ni) log (1−ni)]、ボソンでは∑[(ni+1) log (ni+1) − ni log ni]（ただし0 log 0 = 0）。
• 混合状態および部分系への適用を行い、非自由度が部分トレースの下で単調性を示すことを示す。
• カノニカル熱分布およびマージナル化を用いて、固定粒子数をもつ三モードボソン系などのモデル系における非自由度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた多体状態に対して、相対エントロピーを最小化する最適な自由状態は何か？
• RQ2 多数のフェルミオンまたはボソン系における相関は、情報理論的にも妥当で物理的にも意味のある方法でどのように定量化できるか？
• RQ3 同じ1体密度行列を持つ自由状態に対する相対エントロピーとして定義された非自由度は、すべての自由状態の中で最小の相対エントロピーを達成するか？
• RQ4 非自由度は部分系への制限においてどのように振る舞い、これは量子多体系における相関にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 多数のフェルミオンまたはボソン系の状態の非自由度は、すべての自由状態における相対エントロピーの最小値であり、その最小化子は同じ1体密度行列を持つ自由状態である。
• 純粋なnフェルミオン状態では、非自由度がゼロであるのは、状態がスレーター行列式である場合に限る。これは自然占有数が1または0であることに相当する。
• 純粋なnボソン状態では、非自由度がゼロであるのは真空状態に限る。最も自由度が高い状態は、全粒子が1つのモードに占有されている原子的コherent状態である。
• 部分系の非自由度は、元の全系の非自由度以下である。これは望ましい単調性の性質を確認するものである。
• 混合状態、特に固定粒子数をもつカノニカル熱分布に対しても、非自由度の明示的公式が導出され、三モードボソンモデルにおいて数値的に検証された。
• 固定粒子数nの三モードボソン系では、非自由度はnが増加するにつれて増加し、基底モード部分状態Δ₀の非自由度もnが増加するにつれて増加する。これは単調性と整合的である。