[論文レビュー] Correlation of sequences and of measures, generic points for joinings and ergodicity of certain cocycles

Jean-Pierre Conze, Tomasz Downarowicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界な複素数列が任意の厳密に混合的（strictly ergodic）な列と相関を持たないための条件を確立し、シフト不変測度間の相関フレームワークを新たに導入し、結合（joinings）における汎用点のためのリフト補題を証明する。主な貢献は、無理数回転上の四ジャンプコサイクルのエルゴード性に関する基準の確立であり、これは、エルゴード測度との相関なしであることが、非接触（disjointness）よりも厳密に弱いことを示し、サルナック型の予想の文脈でボシェルニツィアンが提起した問題を解決する。

ABSTRACT

The main subject of the paper, motivated by a question raised by Boshernitzan, is to give criteria for a bounded complex-valued sequence to be uncorrelated to any strictly ergodic sequence. As a tool developed to study this problem we introduce the notion of correlation between two shift-invariant measures supported by the symbolic space with complex symbols. We also prove a "lifting lemma" for generic points: given a joining $\\xi$ of two shift-invariant measures $\\mu$ and $\ u$, every point $x$ generic for $\\mu$ lifts to a pair $(x,y)$ generic for $\\xi$ (such $y$ exists in the full symbolic space). This lemma allows us to translate correlation between bounded sequences to the language of correlation of measures. Finally, to establish that the property of an invariant measure being uncorrelated to any ergodic measure is essentially weaker than the property of being disjoint from any ergodic measure, we develop and apply criteria for ergodicity of four-jump cocycles over irrational rotations. We believe that apart from the applications to studying the notion of correlation, the two developed tools: the lifting lemma and the criteria for ergodicity of four-jump cocycles, are of independent interest. This is why we announce them also in the title. In the Appendix we also introduce the notion of conditional disjointness.

研究の動機と目的

• 有界な複素数列が任意の厳密に混合的（strictly ergodic）な列と相関を持たないための条件を特定すること。
• 複素数記号をもつ記号的空間上のシフト不変測度間の相関を測度論的枠組みで定式化すること。
• 結合（joinings）における汎用点のためのリフト補題を証明し、列レベルの相関を測度レベルの相関に翻訳可能にする。
• 無理数回転上の四ジャンプコサイクルを分析することで、相関なしと非接触の違いを明確にすること。
• 特にコサイクル拡張の記号的表現において、条件付き非接触（conditional disjointness）の概念を導入・適用すること。

提案手法

• 有限ブロックにおける複素数列の相関関数を導入し、漸近的極限によって無限列へ拡張する。
• 同じ関数を用いて、記号的空間上の2つのシフト不変測度間の相関を定義し、測度論的解析を可能にする。
• リフト補題の証明：任意のμとνの結合ξに対して、μ-汎用点xは、ξ-汎用対(x,y)にリフト可能である。
• 無理数回転上の四ジャンプコサイクルを構成・分析し、特定のβ_J関数の消滅に基づくエルゴード性の基準を導出する。
• コサイクル拡張の基本因子σ代数に関する条件付き非接触を用いて、すべてのエルゴード測度との相関なしを導出する。特に、有限群値コサイクルを持つ場合に有効。
• リフト補題とエルゴード性基準を応用し、すべてのエルゴード測度との相関なしは非接触よりも厳密に弱いことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な複素数列がすべての厳密に混合的（strictly ergodic）な列と相関を持たないための条件は何か？
• RQ2 列間の相関は、それに対応する不変測度間の相関とどのように関係するか？
• RQ3 結合における汎用点のためのリフト補題を用いて、列レベルの相関性質を測度レベルに移行できるか？
• RQ4 無理数回転上の四ジャンプコサイクルのエルゴード性を保証する条件は何か？
• RQ5 ある測度がすべてのエルゴード測度と相関を持たないのと、それらと非接触であるのとには、構造的な違いがあるか？

主な発見

• リフト補題により、任意のμとνの結合ξに対して、μ-汎用点xは、ξ-汎用対(x,y)にリフト可能であり、結合操作において汎用性が保たれることを保証する。
• 測度論的相関フレームワークのもとで、有界な列が任意の厳密に混合的（strictly ergodic）な列と相関を持たないことは、その関連する不変測度がすべてのエルゴード測度と相関を持たないことに同値である。
• 無理数回転上の四ジャンプコサイクルのエルゴード性は、すべての関連する時間シフトおよび群元において特定のβ_J関数が消えることに同値である。
• すべてのエルゴード測度と相関を持たないが、それらと非接触でない不変測度が存在することを示し、相関なしは非接触よりも厳密に弱いことを証明する。
• コサイクル拡張の基本因子に関する条件付き非接触は、すべてのエルゴード測度との相関なしを意味する。特に、最初の記号関数の条件付き平均がゼロである場合に顕著である。