[論文レビュー] Correlation structure of time-changed fractional Brownian motion

Jebessa B. Mijena|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、fBm が逆サブオーダーに従属する時間変更分数ブラウン運動の明示的な相関構造を導出する。ラプラス変換と一般化されたミタグ・レフラー関数を用いて、共分散および相関関数の正確な表現を確立し、長時間および短時間の極限における漸近的挙動を導出する。特に、温度付き安定分布および逆 $\alpha$-安定サブオーダーに対して考察する。

ABSTRACT

Fractional Brownian motion (fBm) is a centered self-similar Gaussian process with stationary increments, which depends on a parameter $H \in (0, 1)$ called the Hurst index. The use of time-changed processes in modeling often requires the knowledge of their second order properties such as covariance function. This paper provides the explicit expression for the correlation structure for time-changed fractional Brownian motion. Several examples useful in applications are discussed.

研究の動機と目的

• fBm が逆サブオーダーに従属する時間変更分数ブラウン運動の正確な相関関数を導出すること。
• 得られた非マルコフ的かつ非ガウス過程の2次モーメント特性（特に共分散および相関）を特徴付けること。
• 時間 $t \to \infty$ および $t \to 0$ の極限における相関関数の漸近的挙動を、特に逆 $\alpha$-安定および温度付き安定サブオーダーに対して分析すること。
• 一般化されたミタグ・レフラー関数およびラプラス変換技術を用いて、実世界の確率的モデリングに適用可能な明示的公式を提供すること。
• 従来のサブオーダー付きブラウン運動に関する結果を、自己相似的かつ長-range 依存性を示す fBm のより広いクラスへと拡張すること。

提案手法

• fBm の標準ブラウン運動を用いた確率積分表現を用い、逆サブオーダー $Y(t)$ を用いた時間変更を適用し、$Z(t) = B_H(Y(t))$ を定義する。
• 逆サブオーダーの分布のラプラス変換を適用し、共分散関数 $\mathbb{E}[Z(t)Z(s)]$ を公式 $\mathbb{E}[Z(t)Z(s)] = \frac{\sigma^2}{2} \left( U^{2H}(s) + U^{2H}(t) - U^{2H}(|t-s|) \right)$ を用いて導出する。ここで $U(t) = \mathbb{E}[Y(t)]$ は逆サブオーダーの再生関数である。
• 一般化されたミタグ・レフラー関数 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z)$ を用いて、逆 $\alpha$-安定および温度付き安定サブオーダーの再生関数 $U(t)$ を表現する。
• カラマタのTauber定理を適用し、$t \to \infty$ および $t \to 0$ の極限における $U(t)$ の漸近的挙動を導出する。
• 共分散の畳み込み構造と $U^{2H}(t)$ のラプラス変換を用いて、長時間における相関関数の漸近的挙動を導出する。
• $0 < s \leq t$ および $t \to \infty$ のときの相関関数 $\mathrm{corr}(Z(t), Z(s))$ を導出し、指数 $1-H$ のべき則的減衰を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 fBm が逆サブオーダーに従属する時間変更分数ブラウン運動の相関関数の正確な形は何か？
• RQ2 逆 $\alpha$-安定および温度付き安定サブオーダーに対して、時間 $t \to \infty$ のとき相関構造はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 相関関数の短時間挙動は何か？ また、ヒルスト指数 $H$ およびサブオーダーのパラメータにどのように依存するか？
• RQ4 サブオーダーのラプラス指数に依存して、時間変更過程の2次モーメント特性（共分散および分散）はどのように変化するか？
• RQ5 温度付き安定サブオーダーに対して、$H$, $\alpha$, および $a$ の観点から相関関数の減衰率を解析的に特徴づけられるか？

主な発見

• 時間変更fBmの共分散関数は、$\mathbb{E}[Z(t)Z(s)] = \frac{\sigma^2}{2} \left( U^{2H}(s) + U^{2H}(t) - U^{2H}(|t-s|) \right)$ で与えられ、ここで $U(t) = \mathbb{E}[Y(t)]$ は逆サブオーダーの再生関数である。
• 逆 $\alpha$-安定サブオーダーに対しては、$U(t) = \frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}$ であり、$Z(t)$ の分散は $t \to 0$ のとき $\mathrm{Var}(Z(t)) \sim \frac{\sigma^2 t^{2H\alpha}}{\Gamma(1+2H\alpha)}$ と漸近的に振る舞う。
• $t \to \infty$ のとき、温度付き安定サブオーダーに対して $Z(t)$ の分散は $\mathrm{Var}(Z(t)) \sim \frac{\sigma^2}{\alpha^{2H} a^{2H(\alpha-1)}} t^{2H}$ と成長する。
• 相関 $\mathrm{corr}(Z(t), Z(s))$ は $0 < s \leq t$ および $t \to \infty$ のとき、$\sim \frac{1}{2} \left( \alpha^H a^{(\alpha-1)H} \frac{\sqrt{U^{2H}(s)}}{t^H} + \frac{2H \alpha^{1-H} a^{(\alpha-1)(1-H)} U(s)}{\sqrt{U^{2H}(s)}} \frac{1}{t^{1-H}} \right)$ と漸近的に振る舞い、指数 $1-H$ のべき則的減衰を示す。
• ヒルスト指数 $H = 1/2$ のとき、$t \to \infty$ のとき相関は $\sim \frac{s^{\alpha/2}}{\sqrt{\Gamma(1+\alpha) U(t)}}$ と振る舞い、$\alpha < 1$ のとき緩やかに減衰することが示される。
• $H > 1/2$ のとき、相関関数は長-range 依存性を示し、長時間極限において $t^{-\gamma}$ よりも遅い速度で減衰する（任意の $\gamma > 0$ に対して）。