[論文レビュー] Correlations between the Hurst exponent and the maximal Lyapunov exponent for some low-dimensional discrete conservative dynamical systems

Mariusz Tarnopolski|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2015

Chaos control and synchronization被引用数 3

ひとこと要約

本研究では、低次元保存的写像におけるハースト指数（HE）と最大リャプノフ指数（mLE）の間に強い相関関係（チリコフ写像ではスピアーマン順位相関係数ρ = 0.83、フロシュル写像ではρ = 0.75）が示された。mLEは近隣探索機械学習アルゴリズムを用いてHE分布を効果的に予測可能であり、カオス的時系列の傾向を正確に再構築できることが示された。

ABSTRACT

The Chirikov standard map and the 2D Froeschl\'e map are investigated. A few thousand values of the Hurst exponent (HE) and the maximal Lyapunov exponent (mLE) are plotted in a mixed space of the nonlinear parameter versus the initial condition. Both characteristic exponents reveal remarkably similar structures in this mixed space. Moreover, a tight correlation between the HEs and mLEs for the two maps was found: $ ho=0.83$ and $ ho=0.75$ for the Chirikov and Froeschl\'e maps, respectively, where $ ho$ is the Spearman rank. Based on this relation, a machine learning (ML) procedure, using the nearest neighbour algorithm, was performed to reproduce the HE distributions based on the mLE distributions. A few thousand HE and mLE values from the mixed spaces were used for training, and then using $2-2.4 imes 10^5$ mLEs, the HEs were retrieved. The ML procedure allowed to reproduce the structure of the mixed spaces in great detail. The HE is proposed as an informative parameter in the area of chaotic control, as it provides expectations about the general trend in a time series.

研究の動機と目的

• 低次元保存的力学系におけるハースト指数（HE）と最大リャプノフ指数（mLE）の関係を調査すること。
• mLEがカオス的時系列解析においてHEの予測的代理指標として機能できるかどうかを評価すること。
• mLEデータからHE分布を再構築できる機械学習フレームワークの開発および検証すること。
• HEが力学系におけるカオス的制御および傾向予測にどの程度有用なパラメータであるかを評価すること。

提案手法

• チリコフ標準写像および2次元フロシュル写像において、非線形パラメータを変化させた場合の多数の初期条件に対してHEとmLEを計算した。
• 非線形パラメータと初期条件を組み合わせた混合パラメータ空間に、HEとmLEを可視化した。
• HEとmLEの関係を定量化するためにスピアーマン順位相関係数（ρ）を計算した。
• 約3,000件のデータポイントからなるHEとmLEのペアを用いて、近隣探索機械学習アルゴリズムを訓練した。
• 訓練済みモデルを用いて、約200,000件のmLE値からHE値を予測し、HE分布全体を再構築した。
• 予測されたHE構造と元のHE分布を比較することで、再構築の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次元保存的写像におけるハースト指数と最大リャプノフ指数の間に有意な相関関係があるか？
• RQ2 カオス的時系列において最大リャプノフ指数を用いてハースト指数を予測できるか？
• RQ3 機械学習を用いてmLEデータのみからHE分布をどの程度正確に再構築できるか？
• RQ4 ハースト指数は、カオス的力学系における長期的傾向を理解する上でどの程度有用な情報であるか？

主な発見

• チリコフ標準写像では、ハースト指数と最大リャプノフ指数の間で強いスピアーマン順位相関係数（ρ = 0.83）が確認された。
• 2次元フロシュル写像では、高いがわずかに低い相関係数（ρ = 0.75）が観察された。
• 近隣探索機械学習アルゴリズムは、mLEデータからHE分布を高い忠実度で再現できた。
• モデルは約3,000件の学習ポイントを用い、mLEデータ約200,000件分のHE値を予測した。
• 再構築されたHE構造は、元の分布と非常に類似しており、mLEの予測的パワーが裏付けられた。
• ハースト指数は、時系列の一般的な傾向を示す能力があるため、カオス的制御に有用なパラメータであると提言される。