[論文レビュー] Correlations with tailored extremal properties

Sky Cao, Peter J. Bickel|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、関数的関係に形状制約（特に単調性）を課すことにより、チャッタージーの相関係数を一般化する新しい相関測度を導入する。単調相関推定量の漸近的性質と局所パワーを確立し、滑らかさの仮定の下で最適な局所パワーを達成することを示す一方で、チャッタージーのものやデーティーらの相関係数といった既存手法とも比較している。

ABSTRACT

Recently, Chatterjee has introduced a new coefficient of correlation which has several natural properties. In particular, the coefficient attains its maximal value if and only if one variable is a measurable function of the other variable. In this paper, we seek to define correlations which have a similar property, except now the measurable function must belong to a pre-specified class, which amounts to a shape restriction on the function. We will then look specifically at the correlation corresponding to the class of monotone nondecreasing functions, in which case we can prove various asymptotic results, as well as perform local power calculations.

研究の動機と目的

• データ内の関数的関係をよりよく反映するために、形状制約（例えば単調性）を組み込んだチャッタージーの相関係数の拡張を目的とする。
• 応答変数が予測子の単調非減少関数である場合にのみ最大値をとる相関測度を、事前に指定された関数クラスの下で開発すること。
• 独立性の帰無仮説の下での新しい推定量の漸近的分布および局所パワー特性を確立すること。
• 新しい単調相関とチャッタージーの元々の相関、およびデーティーらの以前の手法との間で、局所パワー性能を比較すること。
• 順序統計に基づくスコア関数を用いた半パラメトリックモデルにおける、新しい相関測度の理論的最適性を調査すること。

提案手法

• 関数的依存を単調非減少関数に制限することで、チャッタージーの $ C $ を一般化する母集団レベルの相関測度 $ C_{\text{mono}}(X,Y) $ を提案する。
• 順位と等単調回帰に基づく実現推定量 $ \tilde{C}_n $ を定義し、チャッタージーの元々の推定量の構造を踏襲しつつ、等単調最小二乗法を用いて単調性を強制する形に適応する。
• 帰無仮説および局所代替仮説の下での検定統計量の漸近的分布を導出するために、局所代替パラメトリック部分モデルを用いる半パラメトリックモデルを適用する。
• 局所パワーを計算するために、局所パラメトリック部分モデルのスコア関数を用い、スコアがモデルの余剰パrameterと直交することを活用する。
• 帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分散を導出し、局所代替仮説の下での非正規化パrameterを計算して局所パワーを評価する。
• 同じ局所漸近的フレームワークを用いて、新しい単調相関とチャッタージーの $ \tilde{C}_n $、およびデーティーらの $ \hat{r}_n $ の局所パワーを比較し、滑らかさの仮定の下で、新しい手法がより高いパワーを達成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前に指定された関数クラスの下で、$ Y $ が $ X $ の単調非減少関数である場合にのみ最大値をとる相関測度を構築することは可能か？
• RQ2 独立性の帰無仮説の下での、この新しい単調相関の実現推定量の漸近的性質は何か？
• RQ3 局所代替仮説の下で、新しい単調相関の局所パワーは、チャッタージーのものやデーティーらのものと比べてどうなるか？
• RQ4 半パラメトリックモデルにおいて、新しい相関測度がどのような正則性条件下で最適な局所パワーを達成するか？
• RQ5 チャッタージーのものやデーティーらのものと比べて、なぜ新しい手法が優れた局所パワーを示すのか、それらが他の意味で最適であるにもかかわらず？

主な発見

• 提案された単調相関推定量 $ \tilde{C}_n $ は、独立性の帰無仮説の下で漸近的に正規分布に従い、その漸近的分散は一貫して推定可能である。
• 滑らかさの仮定の下で、真の関数 $ h $ に対して、新しい相関の局所パワーはチャッタージーの $ \tilde{C}_n $ よりも厳密に大きく、形状制約のおかげである。
• 真の関数 $ h $ が滑らかで単調である場合に、新しい推定量の漸近的局所パワーが最大化されることを示し、このクラスにおいて同手法が最適であることを示唆する。
• 新しい相関の最小不利部分モデルのスコア関数は、経験過程と直交しているため、正確な局所パワー計算が可能である。
• 本稿では、最小不利部分モデルにおいてチャッタージーの $ \tilde{C}_n $ に対して $ \rho^2 = 0 $ であることを示し、これは局所パワーが著しく低いことを示している。一方、新しい手法では同様の条件下で $ \rho^2 > 0 $ を達成している。
• 著者らは、チャッタージーのものやデーティーらのものにおける局所パワーの低さは、$ C=1 $ を正確に達成するのは $ Y = g(X) $ a.s. である場合に限られ、特に $ g $ が不連続であっても成立するが、新しい単調推定量ではその性質が共有されないことに起因すると推測している。