[論文レビュー] Correspondance de Jacquet-Langlands étendue à toutes les représentations

Alexandru Ioan Badulescu|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2002

Philosophy, Science, and History被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体 $F$ 上の $GL_n(F)$ 及びその内部形式のすべての滑らかで無限次元的不可約表現へ、局所的Jacquet-Langlands対応を拡張する。Grothendieck群の準同型を用い、文字の対応を保ち、誘導関手と可換となる。主な貢献は、古典的対応を一般化する、自然かつ全射な準同型 $mathbf{LJ}: Grot(GL_n(F)) \to Grot(G')$ の構成であり、特に残余スペクトル成分からの誘導表現を含む広範なクラスのユニタリ化可能性を示している。

ABSTRACT

We propose a generalisation of the Jacquet-Langlands correspondence to the whole Grothendieck group of finite lenght admissible representations. As an application we prove some particular cases of the global Jacquet-Langlands correspondence, and that a class of representations of a inner form of GL_n over a p-adic field is unitarisable, which agree with some conjecture of Tadic.

研究の動機と目的

• 平方可積分型の表現に限らない、$GL_n(F)$ のすべての滑らかな不可約表現へ局所Jacquet-Langlands対応を一般化すること。
• $GL_n(F)$ 及びその内部形式のGrothendieck群間の自然な準同型 $mathbf{LJ}: Grot(GL_n(F)) \to Grot(G')$ を定義し、文字の対応を保ち、誘導関手と可換となるようにすること。
• グローバルJacquet-Langlands対応から生じる表現のクラスのユニタリ化可能性を確立すること、特に残余スペクトルに属するものに注目すること。
• グローバル対応の局所的挙動を明確にすること。これは、すべての場所で古典的Jacquet-Langlands対応を保存するとは限らない。
• $GL_n$ の残余スペクトルに属する表現が内部形式上のどの表現に対応するかを理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 滑らかで有限長の表現のGrothendieck群間の準同型 $mathbf{LJ}: Grot(GL_n(F)) \to Grot(G')$ を定義し、文字の対応を保つこと。
• $\mathbf{LJ}$ が、$\pi \in Grot(GL_n(F))$ の文字が $\mathbf{LJ}(\pi)$ の文字に対応するという性質を満たす唯一の準同型であることを特徴づけること。
• $\mathbf{LJ}$ が全射であり、符号を除いて古典的Jacquet-Langlands対応を拡張することを証明すること。
• $\mathbf{JL}: Grot(G') \to Grot(GL_n(F))$ なるセクションを構成し、これが単射であり、文字の対応を保つこと。
• 準同型 $\mathbf{LJ}$ を用いてグローバル対応を分析し、特にユニタリ化可能性に関する局所的帰結を導出すること。
• 誘導表現 $Lg(\nu^{-k/2} \delta \otimes \cdots \otimes \nu^{k/2} \delta)$ の形をした表現に結果を適用し、特定の条件下でユニタリ化可能性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Jacquet-Langlands対応は、平方可積分型に限らない、$GL_n(F)$ のすべての滑らかな不可約表現へ拡張可能か？
• RQ2 グローバルJacquet-Langlands対応は、すべての場所で局所的対応を保存するのか、それとも表現とその双対を混ぜ合わせるのか？
• RQ3 与えられた滑らかな不可約表現 $\pi$ が $GL_n(F)$ に属するとき、それに対応する内部形式 $G'$ 上の表現が存在するか？また、その表現は不可約か？
• RQ4 $GL_n$ の残余スペクトル成分からの誘導表現がユニタリ化可能となる条件は何か？
• RQ5 Grothendieck群の準同型 $\mathbf{LJ}$ は、誘導関手やAubert対合とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathbf{LJ}: Grot(GL_n(F)) \to Grot(G')$ は、文字の対応を保つという性質によって一意に特徴づけられ、全射である。
• $\mathbf{LJ}$ は、符号を除いて古典的Jacquet-Langlands対応をすべての滑らかな不可約表現へ拡張する。
• $\mathbf{LJ}$ の核が明示的に記述されており、対応の完全な代数的特徴づけが得られている。
• セクション $\mathbf{JL}: Grot(G') \to Grot(GL_n(F))$ が存在し、これは単射であり、文字の対応を保つ。
• 対応は誘導関手と可換であり、Aubert対合を尊重するため、標準的な表現論的関手と整合性を持つ。
• 本稿では、$\delta$ が $GL_{r/k}(A_v)$ の右不変性を持つ（r.c.i.）とき、$k \mid r$ ならば、$Lg(\nu^{-k/2} \delta \otimes \cdots \otimes \nu^{k/2} \delta)$ の形をした表現がユニタリ化可能であることを証明している。