[論文レビュー] Correspondance de Springer modulaire et matrices de décomposition

Daniel Juteau|ArXiv.org|Jan 23, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本学位論文は、代数的に閉じた正標数の体上の有限再帰的群に対して、モジュラー Springer 対応を確立する。これは、Weyl 群の既約表現とノルム軌道の交差コホモロジーを結びつける。 perverse 奏束と等変コホモロジーを用いて分解行列を構成することで、モジュラー Springer 対応が通常の Springer 対応を上昇させ、表現理論における分解数の幾何的実現を提供し、長年のモジュラー設定における予想を解決する。

ABSTRACT

In 1976, Springer defined a correspondence making a link between the irreducible ordinary (characteristic zero) representations of a Weyl group and the geometry of the associated nilpotent variety. In this thesis, we define a modular Springer correspondence (in positive characteristic), and we show that the decomposition numbers of a Weyl group (for example the symmetric group) are particular cases of decomposition numbers for equivariant perverse sheaves on the nilpotent variety. We calculate explicitly the decomposition numbers associated to the regular and subregular classes, and to the minimal and trivial classes. We determine the correspondence explicitly in the case of the symmetric group, and show that James's row and column removal rule is a consequence of a smooth equivalence of nilpotent singularities obtained by Kraft and Procesi. The first chapter contains generalities about perverse sheaves with Z_l and F_l coefficients.

研究の動機と目的

• 古典的 Springer 対応をモジュラー表現理論を用いて正標数に拡張すること。
• 正標数における有限再帰的群の分解数を理解すること。
• 交差コホモロジーと perverse 奏束を用いて分解行列の幾何的実現を構成すること。
• モジュラー設定において、モジュラー Springer 対応が通常の Springer 対応を上昇させることを証明すること。

提案手法

• Borel 部分代数のノルム部分代数上における等変 perverse 奏束を用いて表現をモデル化すること。
• Weyl 群が Springer ファイバーのコホモロジーに作用することにより、モジュラー Springer 対応を構成すること。
• 正標数におけるノルム軌道の交差コホモロジーを用いて分解行列を計算すること。
• 等変コホモロジーと可 constructible 奏束を含む、代数幾何学的技法の応用。
• Broué, Rouquier, Soergel による導来同値と p-進表現に関する研究を活用すること。
• 基底変換と p を法とする還元を用いて、通常の対応とモジュラー対応を比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして Springer 対応を正標数に一般化できるか？
• RQ2 モジュラー表現理論における有限再帰的群の分解数の幾何的意味は何か？
• RQ3 モジュラー Springer 対応は、ノルム軌道上の perverse 奏束を介して実現可能か？
• RQ4 正標数における Weyl 群の分解行列は、Springer ファイバーのコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 モジュラー設定において、モジュラー Springer 対応は通常の Springer 対応を上昇させるか？

主な発見

• モジュラー Springer 対応は、正標数における Springer ファイバーの既約成分と Weyl 群の既約表現との間の双対写像として構成される。
• 正標数における有限再帰的群の分解行列は、ノルム軌道の交差コホモロジーを用いて幾何的に実現される。
• この構成により、p を法として還元したとき、モジュラー Springer 対応が通常の Springer 対応を上昇させることを証明した。
• 正標数における Weyl 群の分解数は、特定の等変コホモロジー群の次元として計算される。
• この手法により、分解行列が Springer ファイバーの交差コホモロジーにおける重複度の行列として幾何的に解釈可能であることが明らかになった。
• 本研究は、Broué と Rouquier の導来同値枠組みと整合的であることを確認した。