[論文レビュー] Correspondence between conformal field theory and Calogero-Sutherland model

Reiho Sakamoto, Jun’ichi Shiraishi+3 more|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Jul 30, 2004

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、フォック空間におけるジャック対称関数を基底として用いることで、コンフォーマル場理論におけるバーラソロ代数とコラージェロ＝サザンダー模型の間の明確な対応関係を確立する。バーラソロ生成子をボソン化し、ジャック多項式を用いて行列要素を計算することで、特異的ベクトルの組み合わせ的公式を導出し、それらが長方形のヤング図形を持つジャック関数に比例することを証明。比例係数はパラメータのグリッド上の積として明確に特定される。

ABSTRACT

We use the Jack symmetric functions as a basis of the Fock space, and study the action of the Virasoro generators $L_n$. We calculate explicitly the matrix elements of $L_n$ with respect to the Jack-basis. A combinatorial procedure which produces these matrix elements is conjectured. As a limiting case of the formula, we obtain a Pieri-type formula which represents a product of a power sum and a Jack symmetric function as a sum of Jack symmetric functions. Also, a similar expansion was found for the case when we differentiate the Jack symmetric functions with respect to power sums. As an application of our Jack-basis representation, a new diagrammatic interpretation is presented, why the singular vectors of the Virasoro algebra are proportional to the Jack symmetric functions with rectangular diagrams. We also propose a natural normalization of the singular vectors in the Verma module, and determine the coefficients which appear after bosonization in front of the Jack symmetric functions.

研究の動機と目的

• バーラソロ特異的ベクトルの構造を明確化すること。これは、ボソン化技術が存在するにもかかわらず、依然として十分に理解されていない。
• ジャック対称関数を通じて、バーラソロ代数とコラージェロ＝サザンダー模型の間の体系的関係を確立すること。
• フォック空間におけるジャック基底状態上でのバーラソロ生成子 $L_n$ の作用に対して明示的な公式を導出すること。
• バーラソロ特異的ベクトルとそれに対応するボソン化されたジャック対称関数との間の正確な比例係数を特定すること。
• 特異的ベクトルが長方形のヤング図形を持つジャック関数に比例する理由を、図式的かつ組み合わせ論的説明で提示すること。

提案手法

• フォック空間における基底としてジャック対称関数を用い、パワーポテンシャル $p_n$ をボソンモード $a_n/\sqrt{2\beta}$ にボソン化する。
• バーラソロ生成子 $L_n$ の行列要素をジャック基底上で明示的に計算し、これらの要素を生成する組み合わせ的手続きを導出する。
• フェイジン＝フーシュ表現を適用し、$L_n$ をボソン的クリエーション/アノヒレーション演算子 $a_n$ の項で表現することで、明示的な計算を可能にする。
• パワーポテンシャルとジャック対称関数の積を、他のジャック関数の線形結合として表すピエリ型の公式を導出する。
• $L_n$ と $L_{-n}$ の双対性を用いて、特異的ベクトル公式の双対を導出し、双対特異的ベクトルが消えることから、バーラソロ代数の構造的整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボソン化されたフォック空間において、バーラソロ生成子 $L_n$ がジャック対称関数に作用するのを体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 なぜバーラソロ特異的ベクトルは、長方形のヤング図形を持つジャック対称関数に比例するのか？
• RQ3 バーラソロ特異的ベクトルとそれに対応するジャック対称関数との間の正確な比例係数は何か？
• RQ4 ジャック基底上での $L_n$ の行列要素を計算するための組み合わせ的手続きを導出できるか？
• RQ5 バーラソロ代数のボソン化は、特異的ベクトルおよびその双対の構造とどのように関係しているか？

主な発見

• $L_n$ のジャック対称関数への作用行列要素が明示的に計算され、それらを生成する組み合わせ的手続きが予想される。
• ピエリ型の公式が導出され、$p_k \cdot J_\lambda$ が明確な係数を伴う他のジャック対称関数の和として表される。
• バーラソロ特異的ベクトルが長方形の図形を持つジャック関数に比例することが示され、比例係数は $\prod_{i=1}^r \prod_{j=1}^s (i\beta - j)$ として与えられる。
• 双対特異的ベクトル $\langle \chi_{r,s} |$ が消えることが確認され、バーラソロ代数の構造的整合性が裏付けられる。
• ジャック関数 $J_{(s^r)}$ の積分形における $p_1^{rs}$ の係数が、比例係数と一致し、バーラソロ代数における正規化が確認される。