[論文レビュー] Correspondences in computational and dynamical complexity I

Samuel Everett|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2026

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ひとこと要約

論文は、 telic decision problems を関連付けることで dynamical systems と計算複雑性を結びつける方法を開発し、指数時間の下界が正のトポロジ的エントロピーを意味することを示す。

ABSTRACT

We begin development of a method for studying dynamical systems using concepts from computational complexity theory. We associate families of decision problems, called telic problems, to dynamical systems of a certain class. These decision problems formalize finite-time reachability questions for the dynamics with respect to natural coarse-grainings of state space. Our main result shows that complexity-theoretic lower bounds have dynamical consequences: if a system admits a telic problem for which every decider runs in time $2^{Ω(n)}$, then it must have positive topological entropy. This result and others lead to methods for classifying dynamical systems through proving bounds on the runtime of algorithms solving their associated telic problems, or by constructing polynomial-time reductions between telic problems coming from distinct dynamical systems.

研究の動機と目的

• computational complexity を用いて dynamical systems を研究する枠組みを動機付ける。
• coarse-grained 状態空間上の有限時間到達性決定問題として telic problems を導入する。
• complexity の下界からエントロピーのような dynamical properties への含意を確立する。
• telic problems 間の実行時間の境界と還元を通じて dynamical systems を分類する方法を提供する。

提案手法

• telic problems を coarse-grained 状態空間に結びつく dynamical system の族として定義する。
• telic problems を解く決定器の実行時間を分析し、 dynamical features と関連付ける。
• telic problem が実行時間 2^{Ω(n)} の決定器を許容するなら系は正のトポロジ的エントロピーを持つことを証明する。
• 異なる系の telic problems 間の多項式時間還元による分類経路を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 telic problems が dynamical system に関連付けられると、アルゴリズム実行時間の下界を強制できるか。
• RQ2 telic problems の指数時間下界は、基礎となるダイナミクスの正のトポロジ的エントロピーを含意するか。
• RQ3 telic problems 間の複雑さの還元は dynamical systems を分類・区別できるか。
• RQ4 実行時間の境界が、計算的指標を用いた動的挙動の分類に与える影響は何か。

主な発見

• telic problem を持つ系で、決定器の実行時間が 2^{Ω(n)} で動作する場合、その系は正のトポロジ的エントロピーを持つ。
• 複雑性理論的な下界は、関連するダイナミカルシステムに具体的な動的結果をもたらす。
• この枠組みにより、telic problems の実行時間解析を通じた dynamical systems の分類が可能になる。
• telic problems 間の多項式時間還元は、異なる dynamical systems を関連付ける手段を提供する。