[論文レビュー] Corrigendum: On subadditivity of the logarithmic Kodaira dimension

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Fujino (2017) の対数Kodaira次元の部分加法性に関する論文における欠陥を是正する。その証明は、すべての擬効率的 $\mathbb{R}$-除集合に対して $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ であるという誤った仮定に依存していた。Lesieutreの反例を用いて、著者はわずかに弱い不等式が依然として成り立ち、主な応用（例えば、Iitakaの部分加法性予想や一般化された豊富性予想）に十分であることを示す。修正された不等式は、文献に登場するCorollary 1.5および1.6および関連結果の有効性を保つ。

ABSTRACT

John Lesieutre constructed an example satisfying $κ_σ e κ_ν$. This says that the proof of the inequalities in Theorems 1.3, 1.9, and Remark 3.8 in [O. Fujino, On subadditivity of the logarithmic Kodaira dimension, J. Math. Soc. Japan 69 (2017), no. 4, 1565--1581] is insufficient. We claim that some weaker inequalities still hold true and they are sufficient for various applications.

研究の動機と目的

• Fujino (2017) の対数Kodaira次元の部分加法性の証明におけるギャップを是正する。この証明は、すべての擬効率的 $\mathbb{R}$-除集合に対して $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ であるという誤った仮定に依存している。
• John Lesieutreの反例に応える。この反例は、滑らかでかつ特徴的な三様多様体 $X$ と $\mathbb{R}$-除集合 $D$ に対して $\kappa_{\sigma}(D) = 1$ および $\kappa_{\nu}(D) = 2$ であることを示し、元の証明を無効にしている。
• Fujino (2017) の定理1.3および1.9における不等式よりもわずかに弱いが、主な応用（例えば、Iitakaの部分加法性予想）に十分である不等式が依然として成り立つことを確立する。
• Hashizume や Gongyo-Lehmann が得た文献上の関連結果の有効性を強化する。弱い不等式がそれらの証明に十分であることを示す。
• Conjecture 1.4 を提唱する。この予想は、$\kappa_{\sigma}(X,D)$ を用いて $h^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ の多項式的成長の下界を示すものであり、もし証明されれば、元の不等式を回復する。

提案手法

• Lesieutreの反例を用いて、一般には $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ が成り立たないことを示し、[Fujino 2017, Theorem 1.3] の元の証明を無効にすることを立証する。
• Nakayamaの数値次元理論とグローバルセクションの漸近的挙動を用いて、誤った $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ に依存しない形で、定理1.3および1.9の不等式を再構築する。
• [Nakayama, Chapter V, 3.7 Theorem] を適用し、弱いが十分な不等式を導出する：$\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa_{\sigma}(F,K_F+D_X|_F) + \kappa(Y,K_Y+D_Y)$ および $\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa(F,K_F+D_X|_F) + \kappa_{\sigma}(Y,K_Y+D_Y)$。
• 同じ手法で得られた弱い不等式 (3.3) および (3.4) が、[DHP, Remark 2.6] および [GL, Theorem 4.3] の証明に十分であることを示す。これらの証明はNakayamaの不等式に依存している。
• $\limsup f(m) > 0$ および $\limsup g(m) > 0$ が $\limsup f(m)g(m) > 0$ を意味しないことの観察を用いて、元の証明がなぜ失敗するのか、そしてなぜ弱い境界が必要なのかを正当化する。
• Conjecture 1.4 を提唱する。この予想は、十分大きな $m$ に対して $C m^{\kappa_{\sigma}(X,D)} \leq \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ という多項式的下界を示すものであり、もし証明されれば、元の不等式を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $\mathbb{R}$-除集合に対して $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ が成り立たないことは、Fujino (2017) の対数Kodaira次元の部分加法性に関する主な結果を無効にするか？
• RQ2 Fujino (2017) の定理1.3および1.9における不等式よりもわずかに弱い不等式でも、Iitakaの部分加法性予想のような主な応用に十分か？
• RQ3 不等式 $\kappa_{\sigma}(D + f^*Q) \geq \kappa_{\sigma}(D;X/Y) + \kappa(Q)$ および $\kappa_{\sigma}(D + f^*Q) \geq \kappa(D;X/Y) + \kappa_{\sigma}(Q)$ は、[DHP, Remark 2.6] および [GL, Theorem 4.3] の有効性を保つのに十分か？
• RQ4 元の証明 [Fujino 2017, Theorem 1.3] は、$\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ を仮定しないで、$h^0$ の漸近的推定を用いることで修復可能か？
• RQ5 Conjecture 1.4 は真であるか？もし証明されれば、元の不等式を回復するのか？

主な発見

• Fujino (2017) の定理1.3および1.9の元の証明は、すべての擬効率的 $\mathbb{R}$-除集合に対して $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ であるという誤った仮定に依存しているため、無効である。
• Lesieutreの例は、滑らかで特徴的な三様多様体 $X$ と擬効率的 $\mathbb{R}$-除集合 $D$ に対して $\kappa_{\sigma}(D) = 1$ および $\kappa_{\nu}(D) = 2$ であることを示し、一般には $\kappa_{\sigma} \ne \kappa_{\nu}$ であることを証明する。
• 定理1.3および1.9における不等式よりもわずかに弱いが、依然として成り立つ不等式が存在する：$\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa_{\sigma}(F,K_F+D_X|_F) + \kappa(Y,K_Y+D_Y)$ および $\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa(F,K_F+D_X|_F) + \kappa_{\sigma}(Y,K_Y+D_Y)$、ここで $F$ は一般のファイバーである。
• これらの弱い不等式は、[Fujino 2017, Corollaries 1.5および1.6] に十分であり、元の論文の主な応用を保つ。
• Nakayama理論および [Nakayama, Chapter V, 3.7 Theorem] を用いて導出された不等式 (3.3) および (3.4) は、元の不等式 (3.1) の失敗にもかかわらず、[DHP, Remark 2.6] および [GL, Theorem 4.3] の証明に十分である。
• Conjecture 1.4 は未解決のまま：もし真であれば、$C m^{\kappa_{\sigma}(X,D)} \leq \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ が十分大きな $m$ に対して成り立ち、元の不等式を回復する。