[論文レビュー] Corrigendum: The base change fundamental lemma for central elements in parahoric Hecke algebras

Thomas J. Haines|ArXiv.org|Oct 26, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この訂正は、Haines (2009) の論文におけるパラホリックヘッケ代数における群スキーム $\tau_{{\bf a}_J}$ の誤った特定について修正し、Bruhat-Tits理論で定義されたように、$\mathcal{G}_{{\bf a}_J}$ が全固定子 $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}$ の適切な部分群を表すことを明確にしている。主な貢献は、これらの群スキームの正確な同定と、基本拡大の基本補題におけるその役割であり、特に $G$ が分岐している場合や $G_{\rm der} = G_{\rm sc}$ であるか、またはファセットが特別な頂点を含む場合に $\mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L) = \widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ が成り立つ条件を特定している。

ABSTRACT

This note corrects a minor misstatement in section 2 of the paper in the title (arXiv:0808.3426). It also addresses some related issues. The error does not affect the main results of that paper, but nevertheless this corrigendum seems necessary to avoid potential confusion.

研究の動機と目的

• Haines (2009) の論文における、群スキーム $\mathcal{G}_{{\bf a}_J}$ が全固定子 $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}$ の部分群として特定されていることに関する誤った記述を是正すること。
• パラホリックヘッケ代数および基本拡大の文脈において、$\mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ と $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ の違いを明確にすること。
• Bruhat-Tits (1972) の 5.2.4 節において、表示式で誤って「ハット」記号が使われていたタイプミスを是正すること。
• 特に $G$ が分岐している場合、かつ $G_{\rm der} = G_{\rm sc}$ であるか、またはファセットが特別な頂点を含む場合に、$\mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L) = \widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ が成り立つ十分条件を特定すること。
• 表記および群スキームの解釈を是正した後、Haines (2009) の重要な結果、特に定理 2.3.1、系 2.3.2、および補題 2.9.1 の有効性を確認すること。

提案手法

• Bruhat-Tits (1972) の 4.6.26 節で定義された群スキームを $\mathcal{G}_{{\bf a}_J}$ と再解釈し、4.6.26–28 で定義される全固定子 $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}$ とは区別すること。
• Kottwitzのホモモルフィズムを用いて $G(L)_1$ と $G(L)^1$ を関連付け、$X^*(Z(\widehat{G})^\mathcal{I})$ が torsion-free である場合に $G(L)_1 = G(L)^1$ が成り立つことを示すこと。
• 拡張されたアフィンワイル群 $X_*(T) \rtimes W$ の構造を用いて、特別な頂点 $v$ を固定する要素がコルート格子 $Q^\vee$ に属することを示し、$G(L)_1$ に属することを保証すること。
• $G$ が分岐している場合に $G_{\rm der} = G_{\rm sc}$ ならば、$G(L)_1 = G(L)^1$ であり、[BT2] の固定子記述を用いて $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L) = \mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ を確立すること。
• ${\bf a}_J$ の閉包に特別な頂点が含まれる場合、正規化子が ${\bf a}_J$ を固定する要素がコルート格子条件により $G(L)_1$ に属することを示し、$\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L) = \mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ が成り立つことを証明すること。
• 「素朴な」イワヒリ部分群 $\widetilde{I}$、「真の」イワヒリ部分群 $I = \mathcal{G}^\circ_{{\bf a}}(\mathcal{O}_F)$、および $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}}(\mathcal{O}_F)$ を比較し、$I \subseteq \widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}}(\mathcal{O}_F) \subseteq \widetilde{I}$ であることを示し、分岐または特別な頂点の条件があるときに等号が成り立つことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Haines (2009) における群スキーム $\mathcal{G}_{{\bf a}_J}$ の正しい同定は何か？ これは全固定子 $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}$ とはどのように異なるか？
• RQ2 $\mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L) = \widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ が一般には成立しないのはなぜか？ どのような条件下で成立するか？
• RQ3 [BT2] の 5.2.4 節におけるタイプミス（誤った「ハット」記号の使用）は、表示式の正当性にどのような影響を与えるか？ どのように修正することで正しい状態に戻るか？
• RQ4 $G$ およびファセット ${\bf a}_J$ にどのような条件下で $\mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ と $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ が一致するか？
• RQ5 $\mathrm{True}$ イワヒリ部分群 $I$、「素朴な」イワヒリ $\widetilde{I}$、および $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}}(\mathcal{O}_F)$ の関係は何か？ どのような条件下でこれらは等しくなるか？

主な発見

• Haines (2009) の群スキーム $\mathcal{G}_{{\bf a}_J}$ は、$\mathcal{O}_L$-点として ${\bf a}_J^{\rm ss}$ の $G(L)_1$ 内での固定子を表すものと解釈すべきであり、全固定子 $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}$ とは異なる。
• $G$ が分岐している場合に $G_{\rm der} = G_{\rm sc}$ ならば、$G(L)_1 = G(L)^1$ であり、[BT2] の固定子記述を用いることで $\mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L) = \widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ が成り立つ。
• ${\bf a}_J$ の閉包に特別な頂点が含まれる場合、正規化子が ${\bf a}_J$ を固定する要素はコルート格子条件により $G(L)_1$ に属するため、$\mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L) = \widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ が成り立つ。
• 一般には「素朴な」イワヒリ部分群 $\widetilde{I}$ は「真の」イワヒリ部分群 $I = \mathcal{G}^\circ_{{\bf a}}(\mathcal{O}_F)$ を真に含むが、$G$ が $F$ に関して分岐している場合には一致する。
• [BT2] の 5.2.4 節におけるタイプミス（誤った「ハット」記号の使用）は、表示式を無効にしている。ハットを除去することで正しくなることが、${\rm PSp}(4)$ の反例によって示されている。
• Haines (2009) の補題 2.9.1 の証明は、$\mathcal{G}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ と $\mathcal{G}_{{\bf a}^M_J}(\mathcal{O}_L)$ をそれぞれ $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}_J}(\mathcal{O}_L)$ と $\widehat{\mathcal{G}}_{{\bf a}^M_J}(\mathcal{O}_L)$ に置き換えることで、依然として有効である。