[論文レビュー] Corruption Robust Phase Retrieval via Linear Programming

Paul Hand, Vladislav Voroninski|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 8被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、O(n) 個の破損したガウスノイズを含む測定値から、実ベクトルを正確に回復できる線形計画法である RobustPhaseMax を提案する。これは、最大 Ω(n) 個の測定値が任意に破損している場合でも成立する。PhaseMax にペナルティ付きのスラック変数を追加することで、最適性条件と集中不等式を用いた直接的解析により、高確率で正確な回復が達成される。

ABSTRACT

We consider the problem of phase retrieval from corrupted magnitude observations. In particular we show that a fixed $x_0 \in \mathbb{R}^n$ can be recovered exactly from corrupted magnitude measurements $|\langle a_i, x_0 angle | + η_i, \quad i =1,2\ldots m$ with high probability for $m = O(n)$, where $a_i \in \mathbb{R}^n$ are i.i.d standard Gaussian and $η\in \mathbb{R}^m$ has fixed sparse support and is otherwise arbitrary, by using a version of the PhaseMax algorithm augmented with slack variables subject to a penalty. This linear programming formulation, which we call RobustPhaseMax, operates in the natural parameter space, and our proofs rely on a direct analysis of the optimality conditions using concentration inequalities.

研究の動機と目的

• 位相再構成における測定値の大きさに任意の破損が生じる状況に対処すること。これは、画像処理や信号再構成の分野で一般的な課題である。
• 高次元のリフトを用いる従来の凸法（例：PhaseLift）を避けることにより、自然なパrameter空間で直接動作する計算的に扱いやすい手法を開発すること。
• 測定値がスパースで任意のノイズによって破損している場合に、最適なサンプル複雑度 m = O(n) を満たして正確な回復を達成すること。
• 最適性条件の直接的解析と集中不等式を用いて、外れ値に対して強いロバストネスを示す理論的保証を提供すること。
• Bounded な無限大ノルムノイズを超えて、現実的なノイズモデル（例：スパースな破損）を扱えるように PhaseMax フレームワークを拡張すること。

提案手法

• 破損した測定値をモデル化するため、非負のスラック変数を PhaseMax の線形計画問題に追加する。
• スラック変数の和にペナルティを課すことで、破損モデルにおけるスパarsity を促進する。
• 行列リフトを避ける自然なパrameter空間における凸最適化問題として RobustPhaseMax を定式化する。
• 集中不等式を用いて最適性条件を解析し、高確率での回復保証を導出する。
• スペクトル初期化子（例：Median-Truncated Wirtinger Flow からのもの）を用いて、初期化のための相関のあるアンカーベクトルを提供する。
• 摂動および近傍における測定演算子の 1-ノルムをバウンディングすることで、破損下における実行可能集合の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定値の大きさに任意のスパースな破損が生じる状況でも、最適なサンプル複雑度を維持したまま位相再構成をロバストに可能にすることができるか？
• RQ2 行列空間へのリフトを伴わず、自然なパrameter空間における凸計画法で正確な回復を達成することは可能か？
• RQ3 PhaseMax フレームワークは、有界ノイズを超えて、スパースな破損などの現実的なノイズモデルを扱えるように拡張可能か？
• RQ4 スパースな破損下での正確な回復に必要な理論的サンプル複雑度は何か？ そして、高確率で達成可能か？
• RQ5 集中不等式と最適性条件の解析は、敵対的破損の存在下でもロバストネス保証を可能にするか？

主な発見

• RobustPhaseMax は、m = O(n) 個の i.i.d. 標準ガウス分布の測定値から、固定された実ベクトル x₀ ∈ ℝⁿ を正確に回復できる。これは、最大 Ω(n) 個の測定値が任意に破損している場合でも成立する。
• m ≥ 2c₀n 個の測定値、かつ c₀ が十分に大きい場合、確率 1 - 5me^(-γm/4) 以上（ある γ > 0 に対して）で高確率での正確な回復が達成される。
• 解析は、摂動における測定演算子の 1-ノルムのバウンディングに依存しており、適切な条件下で実行可能集合が破損に対してロバストであることが示された。
• 破損した測定値を含む内積項の期待値は、0.597‖x₀‖₂‖x₁‖₂ 以上に下界が与えられ、回復に十分な信号強度が保証された。
• スパースな破損の下では、従来の PhaseMax よりも性能が優れている。これは、PhaseMax の実行可能集合がこのような状況で急速に縮小するためである。
• 理論的保証は、ε-ネットにおける和集合のバウンディングと集中不等式を用いて導出され、破損および初期化誤差の両方に対してロバストネスが確立された。